Limites de funções

por **Tixa11** » Sáb Nov 10, 2012 12:43

$\lim_{x->0}\frac{sin(3x}{arcsin(x)}+ \lim_{x->+\propto}\frac{ln(x)}{3{x}^{2}+ {e}^{x}}= 3$

Verdadeiro ou falso?

Como resolvo?

por **MarceloFantini** » Sáb Nov 10, 2012 13:39

Você pode usar L'Hospital?

por **Tixa11** » Dom Nov 11, 2012 12:57

MarceloFantini escreveu:Você pode usar L'Hospital?

Não sei o que é isso. Desculpe...

por **e8group** » Dom Nov 11, 2012 14:07

Eu pensei assim .

No primeiro limite multiplicando o numerador e denominador por

. Vamos obter ,

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{sin(3x)}{\frac{3x}{\frac{arcsin(x)}{3x}}} \right ) = 3 \cdot \left(\frac{ \frac{ \lim_{x\to0} \frac{sin(3x)}{3x}}{ \lim_{x\to0}arcsin(x)} }{x} \right) = 3 \cdot \frac{1}{1} = 3 .$

Já no segundo , fazendo a susbstituição 1/x = k

, segue que ,

$\lim_{x\to +\infty} \frac{ln(x)}{3x^2 + e^x} = \lim_{k\to 0^+} \frac{ln(k^{-1})}{3/k^2 + e^{1/k}} = \lim_{k\to 0^+} k^2 \left(\frac{ln(k^{-1})}{3 + k^2(e^{1/k})} \right ) = \lim_{k\to 0^+} k^2 \cdot\lim_{k\to 0^+} \left(\frac{ln(k^{-1})}{3 + k^2(e^{1/k})} \right ) = 0 \cdot\lim_{k\to 0^+} \left(\frac{ln(k^{-1})}{3 + k^2(e^{1/k})} \right ) = 0$

Assim , $\lim_{x\to 0} \frac{sin(3x)}{arcsin(x) } + \lim_{x\to +\infty} \frac{ln(x)}{3x^2 + e^x} = 3 + 0 = 3$ .

Qualquer dúvida , post aí por favor .

OBS.: Por favor , se alguém ver algum erro quanto a definição , ficaria agradecido se postasse .