[Limite de Funções de duas variáveis] Demostração

por **ARCS** » Dom Out 21, 2012 20:15

O usando a técnica dos caminhos encontrei que o $\lim_{ (x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{xy}{\sqrt[]{x^2+y^2}} = 0.$

O problema é que preciso provar usando a definição que o limite existe e zero, mas eu "emperrei" nesta parte:

$0 < \sqrt[]{x^2+y^2} <\delta \Rightarrow \frac{|x| |y|}{\sqrt[]{x^2+y^2}} <\epsilon$

por **MarceloFantini** » Dom Out 21, 2012 22:04

Use a mudança de variável $x = r \cos \theta$ , $y = r \sin \theta$ , para algum $\theta$ . Com isto o limite se tornará

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2 +y^2}} = \lim_{r \to 0} r \cos \theta \sin \theta = 0$ ,

para qualquer $\theta$ .

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Re: [Limite de Funções de duas variáveis] Demostração

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