Função inversa [Gabarito não fecha de jeito algúm]

por **Matheus Lacombe O** » Qui Set 06, 2012 00:37

- Olá pessoal! Pelo amor de Deus, quem puder, ajude! Estou realmente interessado em saber o porquê desta questão. Escrevendo este tópico um tanto quanto indignado.. Acabo de chegar da faculdade e ainda não consegui concordar com a resolução que meu professor passou para um dos exercícios da lista sobre funções inversas. Gostaria de pedir a opinião quanto ao seguinte problema:

Obtenha a inversa da função abaixo:

$f(x)=\frac{15}{x+2}$

- Eu resolvi da forma abaixo:

$y=\frac{15}{x+2}$

(x+2).y=15

$x+2=\frac{15}{y}$

$x=\frac{15}{y}+2$

$x=\frac{15}{y}+\frac{2}{1}$

$x=\frac{15+2y}{y}$

${f}^{-1}(y)=\frac{15+2y}{y}$

${f}^{-1}(x)=\frac{15+2x}{x}$

- Não vejo nada de errado, muito pelo contrário, vejo e na forma com meu professor fez, mas ele insiste que a resposta é a função abaixo:

${f}^{-1}(y)=\frac{15}{y+2}$ e portanto, ${f}^{-1}(x)=\frac{15}{x+2}$

- Pelo AMOR DE DEUS(desespero)! Por favor, alguém poderia me explica o porquê desta bruxaria!?

Abraços e obrigado desde já.
Att. Matheus L. Oliveira.

por **MarceloFantini** » Qui Set 06, 2012 01:55

Há um erro nesta parte:

$x+2 = \frac{15}{y} \rightarrow x = \frac{15}{y} +2$ .

O correto é

$x+ 2 = \frac{15}{y} \rightarrow x = \frac{15}{y} -2 = \frac{15-2y}{y}$ .

Assim, $f^{-1}(x) = \frac{15-2x}{x}$ . Podemos verificar fazendo

$f(f^{-1}(x)) = \frac{15}{\left( \frac{15-2x}{x} \right) +2} = \frac{15x}{15 -2x+2x} = x$

e

$f^{-1}(f(x)) = \frac{15 - 2\left( \frac{15}{x+2} \right)}{ \frac{15}{x+2} } = \frac{15(x+2) - 30}{15} = x+2-2 = x.$

Basta mostrar ao seu professor que a função inversa dele, quando composta com a função original, não dá a função identidade.

por **Matheus Lacombe O** » Qui Set 06, 2012 13:06

Muito obrigado Marcelo. Quando vi a forma com que você resolveu, tentei resolver sozinho, também. Cheguei no mesmo resultado, porém não entendi uma coisa na sua resolução: - Porquê você omitiu o denominador "x+2" quando terminou de fazer o 'mmc' entre 15/1 e 30/(x+2)?

- Segue abaixo a forma com a qual resolvi as duas condições de inversão:

Para:

${f}^{-1}(x)=\frac{15-2x}{x}$

e

$f(x)=\frac{15}{x+2}$

Resolução: (1º Condição)

${f}^{-1}(f(x))=\frac{15-2x}{x}$

${f}^{-1}(f(x))=\frac{\frac{15}{1}-2.\frac{15}{x+2}}{\frac{15}{x+2}}$

${f}^{-1}(f(x))=\frac{\frac{15}{1}-\frac{30}{x+2}}{\frac{15}{x+2}}$

${f}^{-1}(f(x))=\frac{\frac{(x+2).15-30}{x+2}}{\frac{15}{x+2}}$

${f}^{-1}(f(x))=\frac{\frac{15x+30-30}{x+2}}{\frac{15}{x+2}}$

${f}^{-1}(f(x))=\frac{\frac{15x}{x+2}}{\frac{15}{x+2}}$

${f}^{-1}(f(x))=\frac{15x}{x+2}.\frac{x+2}{15}$

${f}^{-1}(f(x))=\frac{15x}{15}$

${f}^{-1}(f(x))=x$

Resolução: (2º Condição)

$f({f}^{-1}(x))=\frac{15}{x+2}$

$f({f}^{-1}(x))=\frac{15}{\frac{15-2x}{x}+2}$

$f({f}^{-1}(x))=\frac{15}{\frac{15-2x+2x}{x}}$

$f({f}^{-1}(x))=\frac{\frac{15}{1}}{\frac{15}{x}}$

$f({f}^{-1}(x))=\frac{15}{1}.\frac{x}{15}$

$f({f}^{-1}(x))=\frac{x}{1}$

$f({f}^{-1}(x))=x$

Obrigado pela atenção. Abraços.
Att. Matheus L. Oliveira.

por **MarceloFantini** » Qui Set 06, 2012 19:06

Eu não omiti, eu apenas passei o denominador da fração debaixo multiplicando o numerador, cancelando denominador com $\frac{30}{x+2}$ . Em suma, eu pulei algumas passagens.