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questão da ESA-2006

questão da ESA-2006

Mensagempor heroncius » Dom Set 09, 2007 16:37

o número natural "X" decomposto em fatores primos se escreve na forma 2^3 x 3^m x 5. sabendo q "X" tem 32 divisores naturais, podemos afirmar q o n° de algarismos de sua represntação decimal é: a)3 b)5 c)7 d)4 e)6

com base nestas informações cheguei ao vlr de m=3, lgo o valor de x=1080...daí morri na praia.
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Re: questão da ESA-2006

Mensagempor admin » Dom Set 09, 2007 21:28

heroncius escreveu:o número natural "X" decomposto em fatores primos se escreve na forma 2^3 x 3^m x 5. sabendo q "X" tem 32 divisores naturais, podemos afirmar q o n° de algarismos de sua represntação decimal é: a)3 b)5 c)7 d)4 e)6

com base nestas informações cheguei ao vlr de m=3, lgo o valor de x=1080...daí morri na praia.


Olá heroncius!

Você concluiu que m=3 e x=1080, o que praticamente já resolveu o problema, porque a representação decimal de 1080 possui 4 algarismos (alternativa d).

Mas, de qualquer forma, acho importante comentar sobre divisores naturais, assim como o percurso da conclusão.

De uma forma geral, se y é um número natural, decomposto em fatores primos, ele poderá ser escrito assim:
y = {p}_{1}^a \cdot {p}_{2}^b  \ \dots \ {p}_{k}^z, onde {p}_{1}, {p}_{2}, \ \dots \ , {p}_{k} são números primos.

Um divisor natural de y será, necessariamente, da forma:
{p}_{1}^a\textquoteright \cdot {p}_{2}^b\textquoteright \ \dots \ {p}_{k}^z\textquoteright

Sendo:
a\textquoteright \in \{0, 1, \ \dots\ , a\}

b\textquoteright \in \{0, 1, \ \dots\ , b\}
\vdots
z\textquoteright \in \{0, 1, \ \dots\ , z\}


A conclusão é que temos a+1 formas de escolher a\textquoteright,
b+1 formas de escolher b\textquoteright
e c+1 formas de escolher c\textquoteright.

E por combinatória, o número de divisores naturais será:
(a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1)


Considerando o caso particular do exercício, temos que:
x=2^3 \cdot 3^m \cdot 5^1

Ou seja, qualquer divisor natural de x será da forma:
2^a \cdot 3^b \cdot 5^c

Onde,
a \in \{0, 1, 2, 3\}
b \in \{0, 1, \ \dots \ , m\}
c \in \{0, 1\}

Donde podemos afirmar que temos 4 modos de escolher a, (m+1) modos de escolher b e 2 modos de escolher c.

Por combinatória, podemos fazer a conta (lembrando que há 32 divisores naturais):
4 \cdot (m+1) \cdot 2 = 32

8m + 8 = 32

8m = 24

m = 3
(apenas para detalhar de onde obtemos m = 3)

Como:
x=2^3 \cdot 3^m \cdot 5^1

x=2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^1

x=1080, de fato.
Com representação decimal de 4 algarismos.
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Re: questão da ESA-2006

Mensagempor heroncius » Dom Set 09, 2007 21:45

+ uma vez agradeço pela explicação Fábio, muito esclarecedora, mas sem querer abusar se por acaso fosse outro vlr como por exemplo: 12508-)seriam 5 algarismos decimais?
501250 " 6 algarismos decimais?

a quantidade eh o q responde a quentão então?


obrigado pela atenção,

abraço!!!
heroncius
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Re: questão da ESA-2006

Mensagempor admin » Dom Set 09, 2007 22:11

Olá heroncius!

Neste caso, o problema mesmo é encontrar m e x.

Sobre a sua pergunta, cuidado apenas com a nomenclatura:
Número de algarismos decimais pode confundir com número de algarismos da representacao decimal.

A representação decimal equivale à soma de potências de 10.
Vou exemplificar a partir dos números que você citou:

12508 = 8 \cdot 10^0 + 0\cdot10^1 + 5\cdot10^2 + 2\cdot10^3 + 1\cdot10^4
(a representação decimal tem 5 algarismos)

501250 = 0\cdot10^0 + 5\cdot10^1 + 2\cdot10^2 + 1\cdot10^3 + 0\cdot10^4 + 5\cdot10^5
(a representação decimal tem 6 algarismos)

Repare que os algarismos da representação decimal são os fatores das potências de 10.
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}