heroncius escreveu:o número natural "X" decomposto em fatores primos se escreve na forma 2^3 x 3^m x 5. sabendo q "X" tem 32 divisores naturais, podemos afirmar q o n° de algarismos de sua represntação decimal é: a)3 b)5 c)7 d)4 e)6
com base nestas informações cheguei ao vlr de m=3, lgo o valor de x=1080...daí morri na praia.
Olá
heroncius!
Você concluiu que
e
, o que praticamente já resolveu o problema, porque a representação decimal de 1080 possui 4 algarismos
(alternativa d).
Mas, de qualquer forma, acho importante comentar sobre
divisores naturais, assim como o percurso da conclusão.
De uma forma geral, se
é um número natural, decomposto em fatores primos, ele poderá ser escrito assim:
, onde
são números primos.
Um
divisor natural de
será, necessariamente, da forma:
Sendo:
A conclusão é que temos
formas de escolher
,
formas de escolher
e
formas de escolher
.
E por
combinatória, o número de divisores naturais será:
Considerando o caso particular do exercício, temos que:
Ou seja, qualquer divisor natural de
será da forma:
Onde,
Donde podemos afirmar que temos 4 modos de escolher
a,
modos de escolher
e 2 modos de escolher
.
Por
combinatória, podemos fazer a conta (lembrando que há 32 divisores naturais):
(apenas para detalhar de onde obtemos
)
Como:
, de fato.
Com representação decimal de 4 algarismos.