É isso mesmo?

por **Cleyson007** » Ter Mai 08, 2012 17:23

Boa tarde a todos!

Se n é um número ímpar, prove que ${n}^{3}-n$ é sempre divisível por 24.

Gostaria de saber se minha resolução está correta!

Teremos: ${n}^{3}-n=24k$

É muito claro que a afirmação é verdadeira para n=1.

Um número ímpar é da forma (2n+1). Logo, teremos:

${(n+2)}^{3}-(n+2)\Rightarrow{n}^{3}+2{n}^{2}+4{n}^{2}+8n+4n+8-n-2$

$24k+6{n}^{2}+12n+6$

$6(4k)+6(2{n}^{2}+2n+1)\Rightarrow6(4k+{n}^{2}+2n+1)$

É isso mesmo???

Até mais.

por **pedroaugustox47** » Sex Mai 11, 2012 03:25

Provar que para todo n ímpar n^3-n

é divisível por 24:
$n^3-n=n.\left(n^2-1 \right)$
mas se n for ímpar, temos que n é da forma 2k+1, substituindo vem:
$n^3-n=\left(2k+1 \right)\left(\left(2k+1 \right)^2-1 \right)$
$n^3-n=\left(2k+1 \right)\left(4k^2+4k+1-1 \right)$
$n^3-n=\left(2k+1 \right)\left(4k^2+4k\right)$
$n^3-n=\left(2k+1 \right)\left(4 \right)\left(k^2+k \right)$
$n^3-n=\left(4 \right)\left(k \right)\left(k+1 \right)\left(2k+1 \right)$
sabemos que $\frac{\left(k \right)\left(k+1 \right)\left(2k+1 \right)}{6}=1^2+2^2+3^2+4^2+......k^2$ e uma soma de quadrados é sempre natural, logo $\left(k \right)\left(k+1 \right)\left(2k+1 \right)$ sempre é múltiplo de 6.
Chamando $\left(k \right)\left(k+1 \right)\left(2k+1 \right)$ de

$\Rightarrow$ n^3-n=24.z

, logo 24 divide n^3-n

.... C.Q.D
abraços :y:

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