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Prove se a afirmação é verdadeira

Prove se a afirmação é verdadeira

Mensagempor Well » Dom Abr 01, 2012 18:14

Tentei provar por absurdo,porém não conseguir desenvolver a demonstração

A afirmação é esta

Se a é par e não é quadrado perfeito \Rightarrow \sqrt[]{a} é irracional

Obrigado.
Well
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Re: Prove se a afirmação é verdadeira

Mensagempor fraol » Dom Abr 01, 2012 23:02

Boa noite,

Vou apresentar uma prova usando um raciocínio parecido com aquele que usamos quando provamos que \sqrt{2} é irracional, vejam se vocês concordam:

Vamos assumir que \sqrt{a} é racional, isto é

\sqrt{a} = \frac{p}{q}

com p e q inteiros positivos, q \ne 0, p e q primos entre si.

Como a é par, seja a = 2k, k um número primo. Então

\sqrt{a} = \frac{p}{q} \iff a = \frac{p^2}{q^2} , q \ne 1 pois a não é quadrado perfeito,

Disso temos p^2 = 2kq^2 então 2 divide p^2 logo 2 divide p.

Assim, seja p = 2s, então

(2s)^2 = 2kq^2 \iff

2s^2 = kq^2

Vemos que 2 divide o primeiro membro da equação, então 2 divide o segundo membro também.
2 não divide k, pois assumimos k sendo um número primo. Então 2 deve dividir q^2 e portanto 2 divide q.

Temos então que 2 é um fator de p e 2 é um fator de q. Dessa forma p e q não são primos entre si, o que contradiz a nossa hipótese.

Logo \sqrt{a} é irracional.
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Re: Prove se a afirmação é verdadeira

Mensagempor fraol » Seg Abr 02, 2012 00:04

Pessoal,

Apesar de prosaica, quando redigi a prova, ela me parecia tão válida. Porém, relendo agora há pouco vi que tem uma hipótese que não está boa, aquela que supõe a = 2k, k um número primo.

Pois podemos ter, por exemplo, k = 9 que evidentemente não é primo.

Deveríamos considerar k como sendo um conjunto de fatores primos.

Mesmo assim vou pensar mais um pouco.

Sugestões?
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Re: Prove se a afirmação é verdadeira

Mensagempor fraol » Seg Abr 02, 2012 14:42

Pessoal, quebrando a cabeça, olhando aqui e acolá encontrei uma nova forma de mostrar que a afirmação é verdadeira.

O método, como quase sempre, é por contradição.

Vamos supor que \sqrt{a} = \frac{p}{q} sendo que \frac{p}{q} é um número racional na forma de fração irredutível e portanto q é mínimo (o menor valor que satisfaz essa igualdade).

Assim aq^2 = p^2 .

Como a é par então a >= 2, então p > q e q > 1 senão a seria um quadrado perfeito.

Como q > 1 temos q^2 < aq^2.

Por outro lado, p = qx + r , onde r é o resto da divisão euclidiana, 0 <= r < q

Se r = 0 então a é um quadrado perfeito logo 0 < r = p - qx < q.

Se aq^2 = p^2 então

aq^2 -pqx = p^2 - pqx então

q(aq - px) = p(p-qx) então

\frac{aq - px}{p-qx} = \frac{p}{q} = \sqrt{a}.

Como p-qx < q, temos uma contradição à nossa hipótese de que q é mímimo.

Logo \sqrt{a} é irracional.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?