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Prove se a afirmação é verdadeira

Prove se a afirmação é verdadeira

Mensagempor Well » Dom Abr 01, 2012 18:14

Tentei provar por absurdo,porém não conseguir desenvolver a demonstração

A afirmação é esta

Se a é par e não é quadrado perfeito \Rightarrow \sqrt[]{a} é irracional

Obrigado.
Well
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Re: Prove se a afirmação é verdadeira

Mensagempor fraol » Dom Abr 01, 2012 23:02

Boa noite,

Vou apresentar uma prova usando um raciocínio parecido com aquele que usamos quando provamos que \sqrt{2} é irracional, vejam se vocês concordam:

Vamos assumir que \sqrt{a} é racional, isto é

\sqrt{a} = \frac{p}{q}

com p e q inteiros positivos, q \ne 0, p e q primos entre si.

Como a é par, seja a = 2k, k um número primo. Então

\sqrt{a} = \frac{p}{q} \iff a = \frac{p^2}{q^2} , q \ne 1 pois a não é quadrado perfeito,

Disso temos p^2 = 2kq^2 então 2 divide p^2 logo 2 divide p.

Assim, seja p = 2s, então

(2s)^2 = 2kq^2 \iff

2s^2 = kq^2

Vemos que 2 divide o primeiro membro da equação, então 2 divide o segundo membro também.
2 não divide k, pois assumimos k sendo um número primo. Então 2 deve dividir q^2 e portanto 2 divide q.

Temos então que 2 é um fator de p e 2 é um fator de q. Dessa forma p e q não são primos entre si, o que contradiz a nossa hipótese.

Logo \sqrt{a} é irracional.
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Re: Prove se a afirmação é verdadeira

Mensagempor fraol » Seg Abr 02, 2012 00:04

Pessoal,

Apesar de prosaica, quando redigi a prova, ela me parecia tão válida. Porém, relendo agora há pouco vi que tem uma hipótese que não está boa, aquela que supõe a = 2k, k um número primo.

Pois podemos ter, por exemplo, k = 9 que evidentemente não é primo.

Deveríamos considerar k como sendo um conjunto de fatores primos.

Mesmo assim vou pensar mais um pouco.

Sugestões?
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Re: Prove se a afirmação é verdadeira

Mensagempor fraol » Seg Abr 02, 2012 14:42

Pessoal, quebrando a cabeça, olhando aqui e acolá encontrei uma nova forma de mostrar que a afirmação é verdadeira.

O método, como quase sempre, é por contradição.

Vamos supor que \sqrt{a} = \frac{p}{q} sendo que \frac{p}{q} é um número racional na forma de fração irredutível e portanto q é mínimo (o menor valor que satisfaz essa igualdade).

Assim aq^2 = p^2 .

Como a é par então a >= 2, então p > q e q > 1 senão a seria um quadrado perfeito.

Como q > 1 temos q^2 < aq^2.

Por outro lado, p = qx + r , onde r é o resto da divisão euclidiana, 0 <= r < q

Se r = 0 então a é um quadrado perfeito logo 0 < r = p - qx < q.

Se aq^2 = p^2 então

aq^2 -pqx = p^2 - pqx então

q(aq - px) = p(p-qx) então

\frac{aq - px}{p-qx} = \frac{p}{q} = \sqrt{a}.

Como p-qx < q, temos uma contradição à nossa hipótese de que q é mímimo.

Logo \sqrt{a} é irracional.
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Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


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Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


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Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


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