Pessoal, quebrando a cabeça, olhando aqui e acolá encontrei uma nova forma de mostrar que a afirmação é verdadeira.
O método, como quase sempre, é por contradição.
Vamos supor que
sendo que
é um número racional na forma de fração irredutível e portanto
é mínimo (o menor valor que satisfaz essa igualdade).
Assim
.
Como
é par então
, então
e
senão
seria um quadrado perfeito.
Como
temos
.
Por outro lado,
, onde
é o resto da divisão euclidiana,
Se
então
é um quadrado perfeito logo
.
Se
então
então
então
.
Como
, temos uma contradição à nossa hipótese de que
é mímimo.
Logo
é irracional.