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Princípio da Indução Finita

Princípio da Indução Finita

Mensagempor silvia fillet » Qui Out 20, 2011 12:04

Por gentileza, alguém pode me ajudar nessa resolução:
Demonstre que:
1.2+2.3+3.4+...+n(n+1) = n.(n+1).(n+2)/3 , para n natural

(Dica) estude demonstrações por indução finita.
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Re: Princípio da Indução Finita

Mensagempor silvia fillet » Qui Out 20, 2011 12:27

silvia fillet escreveu:Por gentileza, alguém pode me ajudar nessa resolução:
Demonstre que:
1.2+2.3+3.4+...+n(n+1) = n.(n+1).(n+2)/3 , para n natural

(Dica) estude demonstrações por indução finita.


Será que é assim:
S(1) é verdadeira pois S(1) = [1.(1+1)(1+2)/3] =2
Se calcularmos S(1) usando a expressão do primeiro membro também encontrará o resultado 2 pois
S(1) 1.2 = 2

Vamos supor a veracidade de S(n) e concluir pela veracidade de S(n+1)
Com efeito
S(n+1) = 1.2+2.3+3.4 +n(n+1)+(n+1)(n+2)
Usando a hipótese de indução e substituindo o valor conhecido de S(n) vem:
S(n+1) = [n(n+1)(n+2)/3] = (n=1)(n+2)
Desenvolvendo e simplificando a expressão acima fica:
S(n+1) = [n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)]/3
Colocando (n+2) em evidencia, fica:
S(n+1) = [(n+2)[n(n+1) +3(n+1)]]/3
Colocando agora (n+1) em evidencia, vem finalmente:
S(n+1) = [n(n+1)(n+2)(n+3)]/3 que é a mesma fórmula para (n+1). Logo, fica provada a veracidade da formula dada para todo n natural.
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Re: Princípio da Indução Finita

Mensagempor MarceloFantini » Qui Out 20, 2011 18:54

Não entendi muito bem o que você fez para a indução, a demonstração para o primeiro caso está certa. Aqui vai:

S(n+1) = S(n) + (n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) =

= \frac{n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)}{3} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}

Que prova a veracidade.
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Re: Princípio da Indução Finita

Mensagempor silvia fillet » Sex Out 21, 2011 17:33

MarceloFantini escreveu:Não entendi muito bem o que você fez para a indução, a demonstração para o primeiro caso está certa. Aqui vai:

S(n+1) = S(n) + (n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) =

= \frac{n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)}{3} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}

Que prova a veracidade.


Obrigada
Marcelo
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.