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Princípio da Indução Finita

Princípio da Indução Finita

Mensagempor silvia fillet » Qui Out 20, 2011 12:04

Por gentileza, alguém pode me ajudar nessa resolução:
Demonstre que:
1.2+2.3+3.4+...+n(n+1) = n.(n+1).(n+2)/3 , para n natural

(Dica) estude demonstrações por indução finita.
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Re: Princípio da Indução Finita

Mensagempor silvia fillet » Qui Out 20, 2011 12:27

silvia fillet escreveu:Por gentileza, alguém pode me ajudar nessa resolução:
Demonstre que:
1.2+2.3+3.4+...+n(n+1) = n.(n+1).(n+2)/3 , para n natural

(Dica) estude demonstrações por indução finita.


Será que é assim:
S(1) é verdadeira pois S(1) = [1.(1+1)(1+2)/3] =2
Se calcularmos S(1) usando a expressão do primeiro membro também encontrará o resultado 2 pois
S(1) 1.2 = 2

Vamos supor a veracidade de S(n) e concluir pela veracidade de S(n+1)
Com efeito
S(n+1) = 1.2+2.3+3.4 +n(n+1)+(n+1)(n+2)
Usando a hipótese de indução e substituindo o valor conhecido de S(n) vem:
S(n+1) = [n(n+1)(n+2)/3] = (n=1)(n+2)
Desenvolvendo e simplificando a expressão acima fica:
S(n+1) = [n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)]/3
Colocando (n+2) em evidencia, fica:
S(n+1) = [(n+2)[n(n+1) +3(n+1)]]/3
Colocando agora (n+1) em evidencia, vem finalmente:
S(n+1) = [n(n+1)(n+2)(n+3)]/3 que é a mesma fórmula para (n+1). Logo, fica provada a veracidade da formula dada para todo n natural.
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Re: Princípio da Indução Finita

Mensagempor MarceloFantini » Qui Out 20, 2011 18:54

Não entendi muito bem o que você fez para a indução, a demonstração para o primeiro caso está certa. Aqui vai:

S(n+1) = S(n) + (n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) =

= \frac{n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)}{3} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}

Que prova a veracidade.
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Re: Princípio da Indução Finita

Mensagempor silvia fillet » Sex Out 21, 2011 17:33

MarceloFantini escreveu:Não entendi muito bem o que você fez para a indução, a demonstração para o primeiro caso está certa. Aqui vai:

S(n+1) = S(n) + (n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) =

= \frac{n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)}{3} = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}

Que prova a veracidade.


Obrigada
Marcelo
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.