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Princípio de Indução Finita (PIF)

Princípio de Indução Finita (PIF)

Mensagempor Jorge Rodrigo » Qui Jun 09, 2011 17:37

Boa tarde!

Alguém poderia me ajudar a provar, por indução, a seguinte questão: n!\geq{2}^{n},\forall n\geq 4
Meu desenvolvimento:
Definição: n!=n.\left(n-1 \right).\left(n-2 \right) ... 3.2.1

1º Passo:\ verificar\ a\ veracidade\ para\ p(4):

\Rightarrow n=4

\Rightarrow4!\geq{2}^{4}

\Rightarrow4.3.2.1\geq16

\Rightarrow24\geq16



2º Passo: supor p(k), \,com k \epsilon \,Z\, estritamente \, positivo, verdadeira:

k!={2}^{k}

e provar que decorre a veracidade de p(k+1), isto é:

(k+1).k!\geq{2}^{k+1}

\Rightarrow(k+1).{2}^{k}\geq{2}^{k+1}


\Rightarrow{2}^{k}.k+{2}^{k}\geq{2}^{k}.2

Como viram não consegui igualar os dois membros para poder afirmar a veracidade do PIF para a proposição dada.
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Re: Princípio de Indução Finita (PIF)

Mensagempor MarceloFantini » Qui Jun 09, 2011 20:44

VocÊ fez errado, não pode sair usando a desigualdade, você tem que sair do primeiro membro e no final mostrar que é maior ou igual ao segundo membro. Assim:

(k+1)! = (k+1)k! \geq (k+1)2^k \geq 2^k \cdot 2 = 2^{k+1}
Futuro MATEMÁTICO
e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.