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Indução Finita FIbonacci

Indução Finita FIbonacci

Mensagempor Garota nerd » Ter Mai 03, 2011 17:52

provar que:
Fn²=(Fn-1).F(n+1)+ (-1)^n+1

comecei assim:
1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89
para n=3.
F(3)=2.
F(2)=1
F(4)=3
2²=1.3+1->4=4,ok!
para n=k.
Fk²=F(k-1).F(k+1)+(-1)^k+1
para n=k+1.
F(k+1)²=F(k+1-1).F(k+1+1)+(-1)^k+1+1
F(k²+2k+1)=Fk.F(k+2)+(-1)^k
Oque eu faço agora?Tenho que provar a igualdade.

não usei o editor de fórmulas porque tenho que sair agora.^^
Se alguém me ajudar fico grata!
Garota nerd
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Re: Indução Finita FIbonacci

Mensagempor FilipeCaceres » Ter Mai 03, 2011 21:02

comecei assim:
1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89
para n=3.
F(3)=2.
F(2)=1
F(4)=3
2²=1.3+1->4=4,ok!


Observe que tem um erro na sua solução, e provavelmente e sua função também esta errada.
Para n=3 temos,
f(3^2)=f(3-1).f(3+1)+(-1)^{3+1}
f(9)=f(2).f(4)+1

Temos que,
f(9)=34
f(2)=1
f(4)=3

Desta forma,
f(9)=f(2).f(4)+1
34\neq 1.3+1

Revise a função!!

Abraço.
FilipeCaceres
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Re: Indução Finita FIbonacci

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 03, 2011 22:54

O problema na verdade está na escrita do exercício, que não foi adequada.

Temos a função F(n) que fornece o n-ésimo termo da sequência de Fibonacci.

Essa função é definida como:
F(n) = \begin{cases}1\textrm{, se } n = 1 \textrm{ ou } n = 2 \\ F(n-1) + F(n-2)\textrm{, se } n \geq 3 \end{cases} , com n natural não nulo.

Vejamos alguns valores para essa função:
F(1) = 1
F(2) = 1
F(3) = F(2) + F(1) = 2
F(4) = F(3) + F(2) = 3
F(5) = F(4) + F(3) = 5
F(6) = F(5) + F(4) = 8

Agora, o que se deseja provar é: [F(n)]^2 = F(n-1)\cdot F(n+1) + (-1)^{n+1}, com n > 1.

Para n=2 é trivial verificar que a relação vale.

Suponha que a relação é válida para n.

Precisamos provar que a relação vale para n + 1: [F(n+1)]^2 =F(n)\cdot F(n+2) + (-1)^{n+2} .

Vamos desenvolver o lado direito da equação para obter o esquerdo.

F(n)\cdot F(n+2) + (-1)^{n+2} = F(n)\cdot [F(n+1)+F(n)] + (-1)^{n+1}(-1)

= F(n)\cdot F(n+1)+ [F(n)]^2 - (-1)^{n+1} (nesse passo usamos a hipótese de indução)

= F(n)\cdot F(n+1)+ F(n-1)\cdot F(n+1) + (-1)^{n+1} - (-1)^{n+1}

= [F(n)+ F(n-1)]\cdot F(n+1)

= F(n+1)\cdot F(n+1)

= [F(n+1)]^2
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Re: Indução Finita FIbonacci

Mensagempor Garota nerd » Qui Mai 05, 2011 00:43

Obrigada a todos!
gostei daqui
bjus^^
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}