Inequação Modular (Dúvida)

por **renanrdaros** » Ter Mar 22, 2011 23:33

Como faço para resolver esta inequação sem o método de elevar ambos os lados ao quadrado?

|x-2|<|x+1|

Sempre que tento resolver acabo cancelando a variável x em ambos os lados.

por **MarceloFantini** » Qua Mar 23, 2011 00:08

Tente passar |x+1|

para o outro lado, avalie onde cada módulo é positivo e negativo e trabalhe com cada caso.

por **renanrdaros** » Qua Mar 23, 2011 00:58

Fantini,

Passei (x+1) para o outro lado, mas dá no mesmo. Continuo anulando a variável x.

por **MarceloFantini** » Qua Mar 23, 2011 01:00

Você não fez a avaliação que eu comentei. Existe um caso onde x não se anula.

por **renanrdaros** » Qua Mar 23, 2011 01:29

Valeu, Fantini.

Analisei os casos restantes e cheguei perto do resultado. Por que perto do resultado? Porque, pelos meus cálculos, eu tenho uma condição que me diz que x<2.

|x-2| = -x+2, se x-2<0 <--> x<2

O resultado correto da questão seria: S= $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

Com a condição citada eu cheguei em S= $\left(\frac{1}{2};2 \right)$

Onde é que eu tô fazendo a confusão???????

por **LuizAquino** » Qua Mar 23, 2011 08:32

Analise o sinal dos termos (x+1) e (x-2) como já havia sido dito.

: inequacao-modular.png (3.06 KiB) Exibido 10486 vezes

Desse modo, a inequação |x-2|<|x+1| gera tem 3 inequações:
(i) -(x-2) < -(x+1), se x < -1.
(ii) -(x-2) < (x+1), se -1<= x < 2.
(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.

Resolva cada uma das inequações e em seguida tome a união das soluções.

por **renanrdaros** » Qua Mar 23, 2011 11:02

Luiz,

Eu estou resolvendo cada um dos casos, mas sempre chego em S= $\left(\frac{1}{2};2 \right)$ por causa das condições.

por **LuizAquino** » Qua Mar 23, 2011 11:23

|x-2|<|x+1|

(i) -(x-2) < -(x+1), se x < -1.
x-2 > x+1
-2 > 1
$S1 = (-\infty,\,-1)\cap \varnothing = \varnothing$

(ii) -(x-2) < (x+1), se -1<= x < 2.
x-2 > -x-1
x > 1/2
$S2 = [-1,\, 2)\cap \left(\frac{1}{2},\, +\infty\right) = \left(\frac{1}{2},\, 2\right)$

(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.
-2 < 1
$S3 = [2,\, +\infty)\cap \mathbb{R} = [2,\, +\infty)$

Solução final:
$S = S1 \cup S2 \cup S3 = \left(\frac{1}{2},\, +\infty\right)$

por **renanrdaros** » Qua Mar 23, 2011 11:31

LuizAquino escreveu:(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.
-2 < 1
S3 = [2,\, +\infty)\cap \mathbb{R} = [2,\, +\infty)

Era sempre nessa parte que eu encalhava. Eu achava que por ficar sem uma variável x na resolução do problema, ele não tinha solução.

por **LuizAquino** » Qua Mar 23, 2011 12:10

Vale a pena enxergar a interpretação geométrica dessa inequação modular.

Se f(x)=|x-2| e g(x)=|x+1|, você quer saber quando que f(x)<g(x). Ou seja, quando o gráfico da função f está abaixo do gráfico da função g. A figura abaixo ilustra essa situação.

: graficos-funcoes-modulares.png (4.54 KiB) Exibido 10480 vezes

por **renanrdaros** » Qua Mar 23, 2011 17:05

LuizAquino escreveu:|x-2|<|x+1|

(i) -(x-2) < -(x+1), se x < -1.
x-2 > x+1
-2 > 1
$S1 = (-\infty,\,-1)\cap \varnothing = \varnothing$

(ii) -(x-2) < (x+1), se -1<= x < 2.
x-2 > -x-1
x > 1/2
$S2 = [-1,\, 2)\cap \left(\frac{1}{2},\, +\infty\right) = \left(\frac{1}{2},\, 2\right)$

(iii) x-2 < x+1, se x >= 2.
-2 < 1
$S3 = [2,\, +\infty)\cap \mathbb{R} = [2,\, +\infty)$

Solução final:
$S = S1 \cup S2 \cup S3 = \left(\frac{1}{2},\, +\infty\right)$

LuizAquino,

Uma última dúvida: Por que você não aprensentou também o caso em que: |x-2| $\geq$ 0 e |x+1|<0 ??

por **renanrdaros** » Qua Mar 23, 2011 17:06

Foi porque, de cara, uma condição anula a outra?

por **LuizAquino** » Qua Mar 23, 2011 17:19

Basta interpretar a análise dos sinais que fiz anteriormente e você deve perceber que temos que nos preocupar apenas com três casos:
(i) Quando x < -1.
(ii) Quando -1 <= x < 2.
(iii) Quando x >= 2.