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Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor renanrdaros » Sáb Mar 19, 2011 19:50

Estou lendo o livro Pré-Cálculo da Pearson e na parte de radiciação tem uma propriedade que diz o seguinte: \sqrt[n]{u^n}= |u| para n par.

Aí vem a minha dúvida: \sqrt[]{2^2} não seria +-2? Então por que a propriedade diz que o resultado é módulo de u?
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Re: Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor Elcioschin » Sáb Mar 19, 2011 20:02

Por definição:

Raiz enésima de u^n = (u^n)^(1/n) = u^(n/n) = u¹ = u

O valor \/(2²) NÃO pode ser +2 e -2 ----> O valor é 2 ou |2|
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Re: Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor renanrdaros » Sáb Mar 19, 2011 20:20

Elcioschin escreveu:Por definição:

O valor \/(2²) NÃO pode ser +2 e -2 ----> O valor é 2 ou |2|



Esse é o problema. O livro afirma a existência dessa propriedade, mas também afirma que \sqrt[4]{16}=+-2

Ainda estou com a dúvida...
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Re: Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 19, 2011 20:38

renanrdaros escreveu:Aí vem a minha dúvida: \sqrt{2^2} não seria +-2? Então por que a propriedade diz que o resultado é módulo de u?


Errado. Você está confundindo o resultado da equação x^2 = 4, que é x = \pm 2 com o valor de \sqrt{4}, que é 2.


A propriedade descrita no livro está certa: \sqrt[n]{u^n}= |u|, para n par.

É um erro comum ignorar essa propriedade.

Por exemplo, é errado fazer \sqrt{(-2)^2} = - 2.

Lembre-se que o valor de uma raiz quadrada com índice par é sempre um número positivo!

O correto seria fazer \sqrt{(-2)^2} = |- 2|= 2.

Você poderia enxergar ainda de outra forma: \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4}= 2.

renanrdaros escreveu:Esse é o problema. O livro afirma a existência dessa propriedade, mas também afirma que \sqrt[4]{16}=\pm 2

O que há no livro não seria uma equação?

Por exemplo, algo como x^4 = 16 ?

De fato, essa equação tem solução x=  \pm 2.

Por outro lado, se desejamos apenas calcular o valor de \sqrt[4]{16}, então o resultado é 2.
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Re: Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor renanrdaros » Dom Mar 20, 2011 11:07

LuizAquino,

Obrigado pela ajuda! Muito boa a sua explicação!

Mas só vou colar aqui uma parte do que o livro diz: Quando n é par, números reais positivos têm duas raízes n-ésimas reais. Por exemplo: \sqrt[4]{16}=\pm 2

Só copiei isso pra cá pra mostrar que não estou confundindo com exponenciação nem nada. Mas o que você me diz, LuizAquino, é erro do livro mesmo?
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Re: Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor LuizAquino » Dom Mar 20, 2011 11:57

Eis o que tempos no Capítulo 2, página 17 do referido livro:
radiciacao.png

Reimpresso de:
Franklin D. Demana , Bert K. Waits, Gregoryu D. Foley e Daniel Kennedy. Pré-cálculo. 1ª edição. São Paulo: Addison Wesley, 2009.

Note que o livro define que:
  • "Se a tem uma raiz n-ésima, então a principal raiz n-ésima de a é aquela com o mesmo sinal de a".
  • "A principal raiz n-ésima de a é denotada pela expressão com o radical \sqrt[n]{a} ".

A confusão está quando ele fornece o exemplo: \sqrt[4]{16}=\pm 2.

Note que isso vai de encontro com a própria definição apresentada no livro! Ele define que \sqrt[n]{a} denota a raiz principal de a. Além disso, ele define que a "principal raiz n-ésima de a é aquela com o mesmo sinal de a". Portanto, \sqrt[4]{16} denota a principal raiz quarta de 16, que é 2. Ou seja, Devemos escrever \sqrt[4]{16} = 2 .
Editado pela última vez por LuizAquino em Dom Mar 20, 2011 17:05, em um total de 1 vez.
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Re: Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor renanrdaros » Dom Mar 20, 2011 15:27

Valeu, cara! Tenho só mais uma dúvida sobre um exercício que tem no livro e tem a ver com o assunto que a gente tá tratando:

\sqrt[]{2x^3y^4}=\sqrt[]{(xy^2)^2.2x}=\sqrt[]{(xy^2)^2} . \sqrt[]{2x}=|x|y^2\sqrt[]{2x}

Aqui eu não entendi por que só o x saiu da raíz como módulo e o y não.
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Re: Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor LuizAquino » Dom Mar 20, 2011 17:03

Lembre-se que \left|a^2\right| = a^2, para qualquer número real a.
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Re: Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor renanrdaros » Seg Mar 21, 2011 00:07

?????

Sei mas ainda não entendi o exercício.
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Re: Dúvida sobre Propriedades de Radiciação

Mensagempor Dan » Seg Mar 21, 2011 04:44

Nesse caso, o x saiu com módulo e o y² não pois qualquer número real (diferente de zero) elevado ao quadrado é sempre positivo. É redundante colocar módulo num número real elevado ao quadrado.
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}