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Demonstrações! Álgebra elementar

Demonstrações! Álgebra elementar

Mensagempor Abelardo » Ter Mar 08, 2011 00:42

Não consigo demonstrar essas três questões!Alguma dica, por favor!

83) Mostre que existem a e b racionais tais que \sqrt[]{18 - 8 \sqrt[]{2}}=a + b\sqrt[]{2}
84)Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com y o real a=\frac{x+y}{2} e chama-se média geométrica o real g=\sqrt[]{xy}. Mostre que a\geq g para todos x, y      \epsilon \  {R}_{+}
87) Prove que, dado um número racional \frac{a}{b} e um número natural n \geq 2, nem sempre \sqrt[n]{\frac{a}{b}} é racional.



Qualquer dica é bem vinda!
Editado pela última vez por Abelardo em Ter Mar 08, 2011 10:33, em um total de 1 vez.
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Re: Demonstrações! Álgebra elementar

Mensagempor Pedro123 » Ter Mar 08, 2011 01:51

Olha abelardo, pra 84 ja vi uma demonstração, não sei se é valida, mas é interessante.... haha

faça o seguinte produto notavel, (\sqrt[2]{x} - \sqrt[2]{y})^{2}, perceba que como está ao quadrado,e , pelo enunciado, X e Y são numeros positivos, é claro que isso resultará em um numero positivo, ou igual a zero, logo:

(\sqrt[2]{x} - \sqrt[2]{y})^{2} \geq 0

Desenvolvendo,

x - 2\sqrt[2]{x.y} + y \geq 0

x + y \geq 2\sqrt[2]{x.y}

Logo, para todo x e y reais, positivos, teremos que

\frac{x + y}{2} \geq \sqrt[2]{x.y}
Editado pela última vez por Pedro123 em Ter Mar 08, 2011 14:31, em um total de 1 vez.
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Re: Demonstrações! Álgebra elementar

Mensagempor LuizAquino » Ter Mar 08, 2011 09:57

Pedro123 escreveu:(\sqrt[]{x} - \sqrt[]{y})^{2} \geq 0

Desenvolvendo,

x - 2\sqrt[]{xy} + y \geq 0

x + y \geq 2\sqrt[]{xy}

Logo, para todo x e y reais, teremos que

\frac{x + y}{2} \geq \sqrt[]{xy}


No segundo passo, você só pode fazer \sqrt{x}^2=x e \sqrt{y}^2=y pois x e y são reais positivos, como diz no texto do exercício.



Além disso, no final ao invés de dizer que "(...) para todo x e y reais, teremos que (...)" você deveria ter dito "(...) para todo x e y reais positivos, teremos que (...)"

Abelardo escreveu:83) Mostre que existe a e b racionais tais que \sqrt[]{18 - 8 \sqrt[]{2}}=a + b\sqrt[]{2}

Dica
Note que: 18 - 8 \sqrt[]{2} = \left(4 - \sqrt{2}\right)^2 .


Abelardo escreveu:87) Prove que, dado um número racional \frac{a}{b} e um número natural n \geq 2, nem sempre \sqrt[n]{\frac{a}{b}}

O texto do execício está incompleto. Por favor revise-o.
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Re: Demonstrações! Álgebra elementar

Mensagempor Abelardo » Ter Mar 08, 2011 12:19

Na questão 83 cheguei a o valor a +\sqrt[]{2}.(b+1)=4. Mas tenho um livro que diz: ''Para construção de irracionais é usar o fato de que, se \theta é irracional e r é racional não nulo, então: \theta+r, \theta.r, \frac{\theta}{r} e \frac{r}{\theta} são todos irracionais..

A questão 87 fiz assim: Admitamos que a e b são números racionais e n=2. Posso formar uma fração onde a=2b.. Logo \frac{a}{b}=2. Então \sqrt[2]{\frac{a}{b}}=\sqrt[2]{2}, onde raiz quadrada de dois é um irracional(Desculpe-me Professor Aquino, a questão estava incompleta mesmo)
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Re: Demonstrações! Álgebra elementar

Mensagempor LuizAquino » Ter Mar 08, 2011 12:29

Abelardo escreveu:Na questão 83 cheguei a o valor a +\sqrt[]{2}.(b+1)=4. Mas tenho um livro que diz: ''Para construção de irracionais é usar o fato de que, se \theta é irracional e r é racional não nulo, então: \theta+r, \theta.r, \frac{\theta}{r} e \frac{r}{\theta} são todos irracionais.

Note que: \sqrt{18 - 8 \sqrt{2}} = \sqrt{\left(4 - \sqrt{2}\right)^2} = 4 - \sqrt{2}. Lembrando que essa última simplificação só pode ser feita dese jeito pois 4 - \sqrt{2} > 0. Sendo assim, no exercício temos que a=4 e b=-1, que são ambos números racionais.

Abelardo escreveu:A questão 87 fiz assim: Admitamos que a e b são números racionais e n=2. Posso formar uma fração onde a=2b.. Logo \frac{a}{b}=2. Então \sqrt[2]{\frac{a}{b}}=\sqrt[2]{2}, onde raiz quadrada de dois é um irracional(Desculpe-me Professor Aquino, a questão estava incompleta mesmo)

Por favor, poste o texto completo da questão.
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Re: Demonstrações! Álgebra elementar

Mensagempor Abelardo » Ter Mar 08, 2011 14:35

''87) Prove que, dado um número racional \frac{a}{b} e um número natural n\geq2, nem sempre \sqrt[n]{\frac{a}{b}} é racional.''


Professor Aquino, essa questão é do livro ''Fundamentos da Matemática Elementar Vol.1'' página 53, copie-a igualmente ao livro. Estou tentando responder algumas questões que exijam demonstrações algébricas, acho que com elas posso entender melhor algumas relações.
O que falta nessa questão? (Fiquei tão animado achando que tinha conseguido resolver kkkk)
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.