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Determinação de divisores

Determinação de divisores

Mensagempor Abelardo » Seg Mar 07, 2011 00:50

(PUC-RJ) Ache dois divisores diferentes, entre 60 e 70, do número {2}^{48}-1.




Estou estudando sobre números primos e há um tópico especial falando sobre os ''números de Mersenne''. Como o a base é 2, o seu resultado é par, mas tem a subtração que o torna um número impar..
pensei em fatorá-lo, mas não vi como. Pensei em um produto notável, mas não tem ''futuro prático'', ficaria inúmeros fatores.
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Re: Determinação de divisores

Mensagempor Renato_RJ » Seg Mar 07, 2011 15:33

Boa tarde Abelardo..

Vou dar uma dica:

x^2 - 1 = (x - 1) \cdot (x + 1)

Olha o que aconteceu com a potência de x....

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Re: Determinação de divisores

Mensagempor Abelardo » Seg Mar 07, 2011 18:47

sei que é dividido por dois quando desenvolvemos a diferença de dois quadrados... mas e a partir dai, devo continuar com o desenvolvimento de (({2}^{24} -1)?
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Re: Determinação de divisores

Mensagempor Renato_RJ » Seg Mar 07, 2011 18:57

Boa tarde Abelardo, vamos lá...

(2^6 - 1) \cdot (2^6 + 1)  = (2^{12} - 1) \Rightarrow \, (2^{12} - 1) \cdot (2^{12} + 1) = (2^{24} - 1) \Rightarrow \, (2^{24} - 1) \cdot (2^{24} +1 ) = (2^{48} - 1)

Arrumando tudo temos:

(2^{48} - 1) = (2^6 - 1) \cdot (2^6 + 1) \cdot (2^{12} + 1) \cdot (2^{24} + 1)

Como 2^6 = 64 sabemos que os dois divisores que se encontram no intervalo dado só podem ser (2^6 - 1) = 63 e (2^6 + 1) = 65.

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Re: Determinação de divisores

Mensagempor Abelardo » Seg Mar 07, 2011 20:14

Valeu Renate, você sempre respondendo as minhas perguntas! Brigadão mesmo..
Consegui chegar a solução, incrivelmente (pelo menos para mim) enquanto ia comprar o pão e estava andando de bicicleta.. lembrei da fórmula para números ímpares e de que entre um par há dois primos. Já que a expressão dada é um número ímpar, então entre 60 e 70 tenho 64 como potência de 2, logo posso ter 64+1=65(ímpar) e 64-1=63(ímpar).

Valeu cara!
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.