Ajuda Matemática • Exibir tópico

por **Renato_RJ** » Ter Fev 15, 2011 00:19

Boa noite a todos, gostaria da correção dos colegas no desenvolvimento da questão abaixo, eu fiz, mas não sei se está certo ou se falta algum detalhe na demonstração, poderiam verificar ?

Dados $a \, b \in \mathbb{N} - \{0\}$ . Aplicamos sucessivamente o algoritmo de Euclides temos:

$a = q_{0} \cdot b + r_{1} \quad 0 \leq r_{1} \textless b$

$b = q_{1} \cdot r_{1} + r_{2} \quad 0 \leq r_{2} \textless r_{1}$

$r_{1} = q_{2} \cdot r_{2} + r_{3} \quad 0 \leq r_{3} \textless r_{2}$

$\vdots$

$r_{k} = q_{k+1} \cdot r_{k+1} + r_{k+2} \quad 0 \leq r_{k+2} \textless r_{k+1}$

Como $r_{1} \, \textgreater \, r_{2} \, \textgreater \, r_{3} \, \textgreater \, \dots \, \textgreater \, r_{k} \, \textgreater \, r_{k+1} \, \geq 0$ . Temos que existe um primeiro inteiro s tal que $r_{s+1} = 0$ . Prove que $r_{s} = M.D.C. \{a,b\}$ .

O que eu fiz:

Extrapolando o algoritmo temos:

$r_{s-2} = q_{s-2} \cdot r_{s-1} + r_{s} \quad 0 \leq r_{s} \textless r_{s-1}$

$r_{s-1} = q_{s-1} \cdot r_{s} + r_{s+1}$

Usando o teorema abaixo:

"Se $a, b \in \mathbb{Z}$ e $a = b \cdot q + r$ onde $q, r \in \mathbb{Z}$ então $M.D.C.\{a,b\} = M.D.C.\{b,r\}$ "

Teremos:

$r_{s} = MDC\{r_{s-1},r_{s}\} = M.D.C.\{r_{s-2},r_{s-1}\} = \dots = M.D.C.\{a,b\}$

A minha demonstração está correta ? A linguagem também ?

Grato,
Renato.

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