(ITA) Equação polinomial

por **Carolziiinhaaah** » Sex Fev 04, 2011 15:35

(ITA) Sobre o polinômio p(x) = x^5 - 5x³ + 4x² - 3x - 2 podemos afirmar que:

a) x = 2 não é raiz de p.
b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais.
c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira.
d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras.
e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais.

por **Elcioschin** » Sex Fev 04, 2011 17:50

p(x) = x^5 + 0 x^4 - 5x³ + 4x² - 3x - 2

p(2) = 2^5 + - 5*2³ + 4*2² - 3*2 - 2

P(2) = 0 -----> Já temos uma raiz x = 2 ----> Alternativa A descartada

Briott-Ruffini

__|1 ... 0 ... - 5 ... + 4 ... - 3 ... - 2
.2|1 ... 2 ... - 1 ... + 2 ... + 1 ... 0

Quociente ----> q(x) = x^4 + 2x³ - x² + 2x + 1

Pesquisa de raízes racionais ----> Se houver é inteira e vale + 1 ou - 1 ----> Nenhuma delas é raiz

Logo só existem raizes irracionais ou complexas

Teorema de Bolzano:

Para x = 0 -----> q(0) = 1
Para x = -1 ----> q(-1) = - 3

Existe uma raiz irracional no intervalo - 1 < x < 0 ----> Logo existe outra raiz irracional

Logo, só restou alternativa E

por **Cleyson007** » Sáb Fev 05, 2011 10:57

Elcio,

por que você usa os valores de x=0 e x=-1 para o Teorema de Bolzano?

Uma outra dúvida:

Os valores q(0) = 1 e q(-1) = - 3 não inflenciam em nada? (Valores dos quocientes)

Aguardo resposta.

Até mais.

por **MarceloFantini** » Sáb Fev 05, 2011 13:22

Acredito que a escolha é arbitrária, apenas usou valores de contas fáceis. Ele poderia ter escolhido $\pi$ e

.

por **Elcioschin** » Sáb Fev 05, 2011 13:48

A minha escolha do intervalo (-1, 0) foi aleatória: Eu necessitava de um intervalo onde o quociente mudasse de sinal.

Para x = 0 nem é necessário fazer conta, é óbvio que q(0) = 1, isto é, q(0) > 0

Em seguida testei x = - 1 e obtive q(-1) = - 3 ----> q(-1) < 0

Como neste intervalo a função q(x) muda de sinal, isto é uma prova de que existe uma raiz neste intervalo

Os valores de q(x) não influenciam em nada (exceto na mudança do sinal)

Obs.: Eu tinha cometido um erro cálculo do valor de q(-1). Já editei minha mensagem original.

por **Carolziiinhaaah** » Sáb Fev 05, 2011 18:33

Elcio, na seguinte passagem:

"Existe uma raiz irracional no intervalo - 1 < x < 0 ----> Logo existe outra raiz irracional"

Compreendi que exista uma raiz irracional no intervalo, pois a função q(x) muda de sinal..
só não entendi, depois disso, o porquê de haver outra raiz irracional no intervalo ;/

por **Elcioschin** » Dom Fev 06, 2011 17:01

Num polinômio de coeficientes INTEIROS as raízes irracionais devem aparecer em pares.
Por exemplo se uma raiz é + V3 a outra é - V3
Algo similar acontece com as raízes coomplexas: se uma raiz é 2 + i a outra é 2 - i

por **Renato_RJ** » Qua Fev 16, 2011 00:32

Pessoal, não existe uma regra de mudança de sinal dos coeficientes indica quantas raízes reais o polinômio pode ter ?

Se "olharmos por este prisma", vemos que a equação muda de sinal 3 vezes, isto é, ela possui 3 raízes reais, uma inteira (pois o colega já provou que 2 é raiz deste polinômio) então restam duas raízes que não são reais....

Abraços,
Renato.