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Problema de contagem

Problema de contagem

Mensagempor exploit » Sáb Jul 17, 2010 02:26

Olá galera, estou com dúvida em relação a um exercício de Matemática Discreta. Trata-se do seguinte:
Exiba o número de funções f com D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e R(f) ? { a, b, c, d, e}, e também com:
a) f(1) ? a e f(9) ? e.
b) f(1) ? f(2), f(1) ? f(3), f(1) ? f(8), f(1) ? f(9) e f(8) ? f(9).
c) R(f) = {a, b, c, d, e}.
d) Número de elementos de f-¹(a) é 3 e o número de elementos de f-¹(b) é menor ou igual a 2.

Sei que é possível resolver pelo Princípio da Inclusão/Exclusão e por Polinômios Cromáticos, mas desconheço a aplicação correta dos dois :s

Se alguém puder me dar uma força ficarei grato!
[]s,
Exploit.

Ps.: TOM, me ajuda!!!! :D
exploit
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Re: Problema de contagem

Mensagempor exploit » Sáb Jul 17, 2010 16:18

Já que é pra haver interação, vou enunciar minhas tentativas. Seguem abaixo:

Resolução do item a:
Sejam D(f) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} e R(f) \subset \{a, b, c, d, e\}. Pelo Princípio da Inclusão/Exclusão, temos
A = \{f \in R(f)^{D(f)} : a \notin R(f)\} \subset R(f)^{D(f)}
e
B = \{f \in R(f)^{D(f)} : e \notin R(f)\} \subset R(f)^{D(f)}
onde |A| = 4^9 = |B| e |A\capB| = 3^9.
Então, tomando |U| = |R(f)^{D(f)}| = 5^9, vem
|(A\cup B)^c| = |A^c \cap B^c| = |U| - |A\cup B| = |U| - (|A| + |B| - |A\cap B|)
= 5^9 - 2*4^9 + 3^9 = 1448520
Obs.: A resposta que me foi passada é (\lambda - 1)(\lambda - 1)\lambda^7 = 78141, onde \lambda = 5.

Resolução do item b:
Neste item fiz o uso do Polinômio Cromático, montado a partir deste grafo:
Imagem
Sua lei de formação seria f(1) ? f(2), f(1) ? f(3), f(1) ? f(8), f(1) ? f(9) e f(8) ? f(9).
Eis que o polinômio encontrado foi ?(? - 2)(? - 1)^3 = 960, quando ? = 5.
Obs.: A resposta que me foi passada é 625.

Ainda estou trabalhando nos itens c e d. Mas posso afirmar de antemão que 5^9 não é a resposta do item c.

Novamente, agradeço imensamente àquele que puder me iluminar.
[]s,
Exploit.
Editado pela última vez por exploit em Sáb Jul 17, 2010 23:51, em um total de 2 vezes.
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Re: Problema de contagem

Mensagempor Douglasm » Sáb Jul 17, 2010 16:42

EDIT: No item a eu fiz "ao contrário"...=P Agora está corrigido

Sobre o item a, usando o princípio da inclusão-exclusão, encontrei:

|A| = 5^8 (somente f(1) = a)

|B| = 5^8 (somente f(9) = e)

|A ? B| = 5^7 (intersecção das duas condições anteriores)

Logo o número procurado seria:

5^9 - 5^8 - 5^8 + 5^7 = 125000

Agora sobre o item c: Novamente devemos fazer uso do princípio da inclusão-exclusão. O que desejamos encontrar aqui é o número de funções sobrejetoras. Esse número é dado por:

\sum^p_{k=0}(-1)^k.C^p_k.(p-k)^n

Extenderia-me muito se fosse explicar essa parte, mas mandarei um link que me poupará desse trabalho:

http://www.olimpiada.ccet.ufrn.br/treinamento_2004/notas_aula/nota_aula_05.pdf

Sendo assim, o número de funções é:

5^9 - 5.4^9 + 10.3^9 - 10.2^9 + 5 = 834120

Ainda não olhei os itens b e d com o devido cuidado, então por hora é só.
Editado pela última vez por Douglasm em Sáb Jul 17, 2010 16:51, em um total de 1 vez.
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Re: Problema de contagem

Mensagempor exploit » Sáb Jul 17, 2010 16:50

OK, vou ler aquele pdf que você me passou. Obrigado! ;)
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Re: Problema de contagem

Mensagempor Douglasm » Sáb Jul 17, 2010 16:52

Não deixe de reparar que eu inverti as coisas no item a, agora está corrigido e bate com o seu gabarito!
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Re: Problema de contagem

Mensagempor exploit » Dom Jul 18, 2010 00:04

Beleza, já notei.
A propósito, fiquei com dúvida naquela intersecção |A ? B| = 5^7, como você chegou nesses 5^7? E o que mudaria na resolução caso o enunciado tivesse me dado R(f) = { a, b, c, d, e}, ao invés de R(f) ? { a, b, c, d, e}? Ou seja, R(f) seria o próprio conjunto, e não apenas estaria contido em tal.
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Re: Problema de contagem

Mensagempor Douglasm » Dom Jul 18, 2010 22:36

A intersecção se deve ao fato de termos considerado os casos em que f(1) = a e f(9) = e. Se fizermos uma permutação simples, vemos que esses casos são:

1 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 1 (1 possibilidade para f(1), 5 para f(2), etc.)

Sobre a R(f) ser igual ou estar contido no conjunto citado, isso não alteraria os valores encontrados, pois na conta consideramos as imagens iguais a {a, b, c, d, e}, como também todos os seus subconjuntos. Isso é independente de R(f) = R(f) = { a, b, c, d, e} ou R(f) ? { a, b, c, d, e}, já que estamos falando apenas de possibilidades.

Sobre o item b, eu não penso que a resposta seja essa (não entendo como se chega a isso), pois isso levaria a situação em que f(1), f(2), f(3), f(8) e f(9) seriam todos diferentes entre si. Ao meu ver isso não é necessariamente verdadeiro, tendo em vista as condições do enunciado.
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Re: Problema de contagem

Mensagempor exploit » Qua Jul 21, 2010 03:14

Muito obrigado! (:

A propósito, descobri o que havia de errado com meu polinômio cromático. Eu esqueci de considerar as cores que sobraram, ou seja, além dos valores de 1, 2, 3, 8 e 9 formadores do polinômio \lambda(\lambda - 1)^3(\lambda - 2), ainda restavam as 'cores' 4, 5, 6 e 7 que ficam de fora. Como elas podem aderir a qualquer cor, uma vez que estão desconexas no grafo, o polinômio correto seria \lambda(\lambda - 1)^3(\lambda - 2)\lambda^4 = \lambda^5(\lambda - 1)^3(\lambda - 2).
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D