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por exploit » Sáb Jul 17, 2010 02:26
Olá galera, estou com dúvida em relação a um exercício de Matemática Discreta. Trata-se do seguinte:
Exiba o número de funções f com D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e R(f) ? { a, b, c, d, e}, e também com:
a) f(1) ? a e f(9) ? e.
b) f(1) ? f(2), f(1) ? f(3), f(1) ? f(8), f(1) ? f(9) e f(8) ? f(9).
c) R(f) = {a, b, c, d, e}.
d) Número de elementos de f-¹(a) é 3 e o número de elementos de f-¹(b) é menor ou igual a 2.
Sei que é possível resolver pelo Princípio da Inclusão/Exclusão e por Polinômios Cromáticos, mas desconheço a aplicação correta dos dois :s
Se alguém puder me dar uma força ficarei grato!
[]s,
Exploit.
Ps.: TOM, me ajuda!!!!
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exploit
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por exploit » Sáb Jul 17, 2010 16:18
Já que é pra haver interação, vou enunciar minhas tentativas. Seguem abaixo:
Resolução do item a:Sejam
e
. Pelo Princípio da Inclusão/Exclusão, temos
e
onde
e
.
Então, tomando
, vem
Obs.: A resposta que me foi passada é
, onde
.
Resolução do item b:Neste item fiz o uso do Polinômio Cromático, montado a partir deste grafo:
Sua lei de formação seria f(1) ? f(2), f(1) ? f(3), f(1) ? f(8), f(1) ? f(9) e f(8) ? f(9).
Eis que o polinômio encontrado foi ?(? - 2)(? - 1)^3 = 960, quando ? = 5.
Obs.: A resposta que me foi passada é 625.
Ainda estou trabalhando nos itens c e d. Mas posso afirmar de antemão que 5^9 não é a resposta do item c.
Novamente, agradeço imensamente àquele que puder me iluminar.
[]s,
Exploit.
Editado pela última vez por
exploit em Sáb Jul 17, 2010 23:51, em um total de 2 vezes.
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exploit
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por Douglasm » Sáb Jul 17, 2010 16:42
EDIT: No item a eu fiz "ao contrário"...=P Agora está corrigido
Sobre o
item a, usando o princípio da inclusão-exclusão, encontrei:
|A| = 5^8 (somente f(1) = a)
|B| = 5^8 (somente f(9) = e)
|A ? B| = 5^7 (intersecção das duas condições anteriores)
Logo o número procurado seria:
Agora sobre o
item c: Novamente devemos fazer uso do princípio da inclusão-exclusão. O que desejamos encontrar aqui é o número de funções sobrejetoras. Esse número é dado por:
Extenderia-me muito se fosse explicar essa parte, mas mandarei um link que me poupará desse trabalho:
http://www.olimpiada.ccet.ufrn.br/treinamento_2004/notas_aula/nota_aula_05.pdfSendo assim, o número de funções é:
Ainda não olhei os itens b e d com o devido cuidado, então por hora é só.
Editado pela última vez por
Douglasm em Sáb Jul 17, 2010 16:51, em um total de 1 vez.
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por exploit » Sáb Jul 17, 2010 16:50
OK, vou ler aquele pdf que você me passou. Obrigado!
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exploit
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por Douglasm » Sáb Jul 17, 2010 16:52
Não deixe de reparar que eu inverti as coisas no item a, agora está corrigido e bate com o seu gabarito!
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Douglasm
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por exploit » Dom Jul 18, 2010 00:04
Beleza, já notei.
A propósito, fiquei com dúvida naquela intersecção |A ? B| = 5^7, como você chegou nesses 5^7? E o que mudaria na resolução caso o enunciado tivesse me dado R(f) = { a, b, c, d, e}, ao invés de R(f) ? { a, b, c, d, e}? Ou seja, R(f) seria o próprio conjunto, e não apenas estaria contido em tal.
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exploit
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por Douglasm » Dom Jul 18, 2010 22:36
A intersecção se deve ao fato de termos considerado os casos em que f(1) = a e f(9) = e. Se fizermos uma permutação simples, vemos que esses casos são:
1 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 1 (1 possibilidade para f(1), 5 para f(2), etc.)
Sobre a R(f) ser igual ou estar contido no conjunto citado, isso não alteraria os valores encontrados, pois na conta consideramos as imagens iguais a {a, b, c, d, e}, como também todos os seus subconjuntos. Isso é independente de R(f) = R(f) = { a, b, c, d, e} ou R(f) ? { a, b, c, d, e}, já que estamos falando apenas de possibilidades.
Sobre o item b, eu não penso que a resposta seja essa (não entendo como se chega a isso), pois isso levaria a situação em que f(1), f(2), f(3), f(8) e f(9) seriam todos diferentes entre si. Ao meu ver isso não é necessariamente verdadeiro, tendo em vista as condições do enunciado.
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por exploit » Qua Jul 21, 2010 03:14
Muito obrigado! (:
A propósito, descobri o que havia de errado com meu polinômio cromático. Eu esqueci de considerar as cores que sobraram, ou seja, além dos valores de 1, 2, 3, 8 e 9 formadores do polinômio
, ainda restavam as 'cores' 4, 5, 6 e 7 que ficam de fora. Como elas podem aderir a qualquer cor, uma vez que estão desconexas no grafo, o polinômio correto seria
.
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exploit
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Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
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