(ITA-72) Condição de Existência

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(ITA-72) Condição de Existência

Mensagempor flavio2010 » Dom Jul 11, 2010 10:03

Seja p(x)=x^2+px+p uma função real na variável real.Os valores de p para os quais f(x)=0 possue raiz dupla positiva são:
a) 0<p<4
b) p=4
c) p=0
d) f(x)=0 não pode ter raiz dupla positiva
e) n.r.a
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Re: (ITA-72) Condição de Existência

Mensagempor Douglasm » Dom Jul 11, 2010 10:44

Primeiramente, para que haja raiz dupla, o discriminante deve ser nulo:

b^2 - 4ac = 0 \;\therefore\; p^2 - 4p = 0 \;\therefore\; p = 0\;\;\mbox{ou}\;\;p=4

Para p = 0, nós temos o próprio zero como raiz dupla, que não é o que nós queremos, pois a raiz deve ser dupla e positiva. Para p = 4, nós teremos -2 como raiz dupla, o que também não nos serve. Consequentemente a resposta é letra D.
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Re: (ITA-72) Condição de Existência

Mensagempor Tom » Dom Jul 11, 2010 16:00

Em concordância com o que ja foi explanado, segue abaixo outras resoluções:


Resolução 1:

Seja f um polinômio tal que f(x)=x^2+px+p. Seja r a raiz dupla de f, então a primeira derivada de f no ponto r é nula, isto é: f'(r)=2r+p=0, assim r=\dfrac{-p}{2} é a raiz dupla.

Além disso Se r é raiz, então: r^2+pr+p=0, isto é, \dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p^2}{2}+p=0\rightarrow p(\frac{-p}{4}+1)=0 e como r\ne 0\rightarrow p\ne0 e decore em p=4.


Resolução 2:

Seja f um polinômio ta que f(x)=x^2+px+p. Seja r a raiz dupla de f, pelas relações de Girard, temos:

2r=-p e r^2=p e dessas obtemos: \dfrac{p^2}{4}=p e como p\ne0\rightarrow p=4



Resolução 3:

Se f adimite raiz dupla e é um polinômio do segundo grau, então f pode ser reduzido a um quadrado perfeito de forma canônica: (x-r)^2, tal que r é sua raiz. Assim, f(x)=x^2-2rx+r^2. Fazendo a identidade polinomial entre o polinômio supracitado e o fornecido pelo enunciado, obtemos:

p=-2r e p=r^2 e dessas relalçõs surge: \dfrac{p^2}{4}=p e como p\ne0\rightarrow p=4
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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