Equação Algébrica de raiz dupla

por **Carolziiinhaaah** » Sáb Jun 19, 2010 01:16

Determine o valor real de

para que a equação x^4 + x + a = 0

tenha raíz dupla.

gabarito: $\alpha = \frac{3\sqrt[3]{2}}{8}$

por **Douglasm** » Dom Jun 20, 2010 09:39

Para resolver esta eu tive que derivar a equação, caso haja dúvida em relação a isso, é interessante dar uma olhada nessa matéria.

Sabemos que se P(x) possui uma raiz com multiplicidade n, P'(x) possui a mesma raiz com multiplicidade n-1. Deste modo, a derivada dessa equação terá a raiz dupla com multiplicidade 1:

$P(x) = x^4 + x + \alpha = 0 \; \therefore$

$P'(x) = 4x^3 + 1 = 0 \; \therefore$

$x = \frac{-1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Como as outras raízes são complexas, o polinômio original tem um termo "x" e alfa é real, elas não nos interessam. Agora é só substituir essa raiz:

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} - \left(\frac{-1}{2^{\frac{2}{3}}}\right)^4 = \alpha \; \therefore$

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} - \left(\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}\right)^4 = \alpha \; \therefore$

$\frac{4 - 1}{2^{\frac{8}{3}}} = \frac{3}{2^{\frac{8}{3}}} = \alpha \; \therefore$

$\frac{3}{2^{\frac{8}{3}}} \; . \; \frac{2^{\frac{16}{3}}}{2^{\frac{16}{3}}} = \alpha \; \therefore$

$\alpha = \frac{3\sqrt[3]{2}}{8}$

E está ai a resposta. Até a próxima.

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