Produto notável

por **matmatco** » Ter Nov 19, 2024 07:39

Seja x ∈ C não nulo tal que $\left(x + \frac{1}{x} \right)^2= 3$ . Determine o valor da expressão ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44}$ .

Notei que ${x}^{64}- {x}^{54}+{x}^{44} ={({x}^{6})}^{10}{x}^{4}-{({x}^{6})}^{9}+{({x}^{6})}^{7}{x}^{2}$ .

Fiz o seguinte desenvolvimento:
$\left(x + \frac{1}{x} \right)^2 \Rightarrow {x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \Rightarrow {x}^{4}- {x}^{2} + 1 =0$

Então fiz uma substituição de variável, $y = {x}^{2}$ , porém não possui raiz real e não consegui resolver. Depois pensei em continuar o desenvolvimento abaixo e encontrar o valor de ${x}^{6}$

$\left(x + \frac{1}{x} \right)^2 \Rightarrow {x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}} = 1 \Rightarrow {\left({x}^{2} + \frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{3} = {1}^{3} \Rightarrow {x}^{6}+ \frac{1}{{x}^{6}} = -2$

A partir daqui não consegui resolver

por **DanielFerreira** » Qua Nov 20, 2024 22:32

Olá matmatco, meus cumprimentos!

Essa primeira parte do enunciado tá completa?

$\mathtt{\left ( x + \frac{1}{x} \right )^2}$

No desenvolvimento que você fez, considerou igual a três...

por **matmatco** » Qua Nov 20, 2024 23:12

Olá Daniel, tudo bem?

Exato, não percebi que o erro de digitação.

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