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[Desigualdade] entre função exponencial e função potência

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Mensagempor VitorFN » Sex Mai 26, 2017 15:18

Tenho uma questão que está me intrigando, se alguém puder me ajudar:

Prove que uma função exponencial de base natural cresce mais rápido que qualquer função potência, desde que X seja suficientemente grande.

Ou seja, prove que e^{x} > x^{N} para qualquer n\in \mathbb{N} - Por exemplo, para n=10 temos: e^{x} > x^{10}
Utilizando o programa WolframAlpha para resolver essa condição(n=10), ele mostra que x precisa ser maior que aproximadamente 35,77, mas como resolver para qualquer n apenas utilizando operações algébricas?

Eu pensei em aplicar o logaritmo natural em ambos os lados, chegando à seguinte expressão: \frac{x}{\ln(x)} > n a partir daí não sei como proceder.
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Re: [Desigualdade] entre função exponencial e função potênci

Mensagempor adauto martins » Sex Jul 07, 2017 12:17

O({x}^{n})=O({x}^{n}+{x}^{n-1}+...+x+1)\prec O({x}^{n}.{x}^{n-1}....1)\prec O({n}^{x}),
onde O(f(x)) mede o crescimento assimtotico de f(x) para numeros muito grande,O e dita notaçao de landau...
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.