• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

equações do segundo grau - como fazer

equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor Ariel » Seg Nov 09, 2015 21:52

Pessoal, estou ensinando o meu sobrinho, q tem duvidas. Deram à ele 2 equaçoes:
é pra resolver usando a fórmula de Bhaskara? é 8 ano. Encontrar o x.
Estou perguntando pq revirei livro todo e não achei este assunto lá.
Anexos
equaçoes.jpg
Ariel
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 37
Registrado em: Dom Nov 09, 2014 16:33
Formação Escolar: ENSINO FUNDAMENTAL I
Andamento: cursando

Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor nakagumahissao » Ter Nov 10, 2015 08:54

Ariel,


As equações que colocou no problema são equações do segundo grau. São do segundo grau porque o expoente maior é o dois. Expoente é o número que está sobre o "x".

Numa equação de segundo grau, descobriu-se que uma pequena fórmula poderia resolver o problema e ajudar a encontrar o valor de x. O nome da pessoa que descobriu isso foi Bháskara e a fórmulá é:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

chamamos costumeiramente o valor que se encontra debaixo do radical de "Delta". Assim:

\Delta = b^2 - 4ac

As variáveis "a", "b" e "c" são os coeficientes da equação. Os coeficientes são os números ao lado de cada "x". Um polinômio de segundo grau tem o seguinte formato:

ax^2 + bx^1 + cx^0 = 0

Mas, todo número elevado a ele mesmo é ele mesmo e todo número elevado a zero é igual a 1, o polinômio ficará da seguinte forma:

ax^2 + bx + c = 0

onde: a, b e c são números Reais e são chamados de coeficientes do polinômio e x é a variável. Da mesma forma, uma função do segundo grau é uma função do tipo:

f(x) = y =  ax^2 + bx + c onde para cada valor de x, existe um valor de y (ou f(x)) associado.

Resover uma equação quadrática (ou de segundo grau) significa encontrar os valores de x para que a equação seja igual a zero. Chamamos isso de Encontrar os zeros da equação.

As funções quadráticas aparecem muito em problemas financeiros, análises de estoques, engenharias (civil, mecânica, etc.), física, matemática, psicologia, biologia, etc.

Feitas as devidas observações, vamos então resolver as equações que você postou:


2x^2 - 6x = 0

Os coeficientes desta equação são:

a = 2, b = -6 e c = 0 (não foi mostrado e por isso vale zero).

Em uma equação onde o c = 0 podemos resolver sem o uso da fórmula de bháskara. Vamos resolver das duas formas, mas usar bháskara para resolver um problema desses apenas aumentaria o trabalho. Os resultados deverão ser os mesmos. Vejamos primeira SEM o uso da fórmula:

Em primeiro lugar, vamos fatorar a equação dada:

2x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x(2x - 6) = 0

Assim, ao olhar para a equação final, podemos ver que: Ou x é igual a zero ou 2x - 6 é igual a zero para que o resultado desta multiplicação dê zero como resultado. Logo:

x = 0

ou

2x - 6 = 0 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = \frac{6}{2} \Leftrightarrow x = 3

Portanto a resposta é: x = 0 ou x = 3.


Vamos agora usar bháskara. Substituindo-se a, b e c na fórmula pelos valores dos coeficientes dados na equação, teremos:

x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(0)}}{2(2)}

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 0}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{36}}{4} = \frac{6 \pm 6}{4}

À partir daqui, temos duas soluções por causa do mais e menos existente na equação final. Vamos resolver um por um abaixo:

{x}_{1} = \frac{6 - 6}{4} \Rightarrow {x}_{1} = \frac{0}{4} \Rightarrow {x}_{1} = 0

{x}_{2} = \frac{6 + 6}{4} \Rightarrow {x}_{2} = \frac{12}{4} \Rightarrow {x}_{2} = 3

Como pode observar, os resultados são os mesmos: x = 0 ou x = 3

Para saber se o que fez para resolver o problema está correto ou não, basta pegar os valores encontrados e substituir na equação para ver se a equação se igualará a zero. Vamos fazer isso usando x = 0:

2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2(0)^2 - 6(0) = 2 \times 0 - 0 = 0 - 0 = 0 \;\;\; (Verdadeiro)

Agora, usando x = 3:

2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2(3)^2 - 6(3) = 2 \times 9 - 18 = 18 - 18 = 0 \;\;\; (Verdadeiro)

Assim, tiramos "a prova" de que os valores encontrados são realmente a resposta para o problema dado.


Vamos resolver o segundo problema agora:

x^2 - 10x + 25 = 0

Os coeficientes são: a = 1, b = -10 e c = 25

Assim, usando bháskara, obteremos:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(25)}}{2(1)}

x =\frac{10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{0}}{2}

x = \frac{10 \pm 0}{2} = \frac{10}{2} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow x = 5

Neste caso, obtivemos apenas uma resposta. As equações quadráticas podem possuir:

a) Nenhuma raiz Real (apenas complexos, mas isto é outra história)
b) 1 Raiz Real como neste caso onde x = 5 e não existe uma segunda resposta
c) 2 Raizes reais como no primeiro caso
d) 1 Raiz real e outra Complexa (isto é uma outra história também)

Para terminar esta questão, a resposta para ela é x = 5. Experimente trocar o x por 5 e verifique se dará zero. Se der, é porque a resposta está correta, caso contrário, tente resolver a questão para encontrar o valor correto.

Espero ter ajudado.



Sandro H. Nakaguma
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
nakagumahissao
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 385
Registrado em: Qua Abr 04, 2012 14:07
Localização: Brazil
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Lic. Matemática
Andamento: cursando

Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor Ariel » Ter Nov 10, 2015 13:55

Sandro, a sua resposta foi joia!!! Muito obrigada! Vc poderia resolver só mais um problema pra mim, mas de equação simples (o qual eu não consegui resolver)? Como eu posso te enviar?

Abs!!
Ariel
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 37
Registrado em: Dom Nov 09, 2014 16:33
Formação Escolar: ENSINO FUNDAMENTAL I
Andamento: cursando

Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor nakagumahissao » Ter Nov 10, 2015 15:29

Pode postar aqui mesmo, na sequência, usando o Editor de Fórmulas. Se não souber, tire uma foto ou faça como o anterior. pode também postar uma nova pergunta neste fórum. Mesmo que eu não resolva, outros professores e/ou pessoas poderão resolver o problema para você.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
nakagumahissao
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 385
Registrado em: Qua Abr 04, 2012 14:07
Localização: Brazil
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Lic. Matemática
Andamento: cursando

Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor Ariel » Ter Nov 10, 2015 16:02

é É esta em anexo... resolveram pra mim, mas não consegui entender. Primeiro não tem q fazer o q está entre parenteses?
Ou tem q multiplicar a fração pelas duas que estão entre parenteses?
Obrigada!
Anexos
equacao.jpg
Ariel
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 37
Registrado em: Dom Nov 09, 2014 16:33
Formação Escolar: ENSINO FUNDAMENTAL I
Andamento: cursando

Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor nakagumahissao » Ter Nov 10, 2015 16:57

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4

Ariel, neste caso você poderia resolver de duas formas. O correto é eliminar-se os parênteses primeiro e como não é possível eliminar o parênteses somando os valores que estão dentro dele por causa do "x" e multiplicar pela fração que está do lado de fora, podemos aplicar a distributividade, que é uma das propriedades da aritmética.

Um exemplo de distributividade é:

a(b + c), onde a está multiplicando pela soma de b com c, assim:

a(b + c) = ab + ac

Um exemplo com números seria:

2(3 + 5) = 2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16, mas como podemos eliminar os parênteses somando-se primeiramente os números, poderíamos também resolver da seguinte forma:

2(3 + 5) = 2 x 8 = 16, que dá o mesmo resultado.

No caso do problema em questão, teríamos:

PRIMEIRA FORMA DE RESOLUÇÃO:

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4

\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \times 3x = 4

Na multiplicação de frações, multiplica-se o numerador pelo outro numerador e o denominador pelo outro denominador, lembrando que o denominador de 3x é 1, ou seja:

\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{3x}{1}= 4

Logo:

\frac{6}{6} + \frac{6x}{3} = 4

1 + \frac{6x}{3} = 4

\frac{6x}{3} = 4 - 1

\frac{6x}{3} = 3

2x = 3

x = \frac{3}{2}

\blacksquare

Uma outra forma de se resolver é perceber que existe um número multiplicando pela soma de outro número. Se fôssemos pensar em quadradinhos teríamos algo assim:

{\square}_{1} \times {\square}_{2} = 4

e como o primeiro quadradinho está multiplicando, podemos "passar para o outro lado do igual" dividindo, ou seja:

{\square}_{2} = \frac{4}{{\square}_{1}}

Assim,

SEGUNDA FORMA DE RESOLUÇÃO:

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4

\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = \frac{4}{\frac{2}{3}}

Reescrevendo a fração do lado direito do igual temos:

\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = \frac{\frac{4}{1}}{\frac{2}{3}}

Uma fração divida pela outra pode ser reescrita em formato de multiplicação da seguinte forma: (Este é apenas um exemplo)

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Repare que invertemos o denominador. Usando esta propriedade das frações, podemos continuar resolvendo da seguinte maneira:

\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = \frac{\frac{4}{1}}{\frac{2}{3}}

\frac{3}{2} + 3x = \frac{4}{1} \times \frac{3}{2}

\frac{3}{2} + 3x = \frac{12}{2}

\frac{3}{2} + 3x= 6

Reorganizando a equação, tem-se que:

3x= 6 - \frac{3}{2}

Reescrevendo o 6 como fração temos:

3x= \frac{6}{1}- \frac{3}{2}

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de 1 e 2 é 2 (Ver abaixo):

1 - 2 | 2
1 - 1 |

para obter o MMC, basta ir dividindo cada número por um número maior que 1 e ir deixando os resultados do lado esquerdo. Caso a divisão somente seja possível para um deles, divida ele pelo número colocado do lado direito da barra e coloque o resultado embaixo e reptia aquele que não poderá ser dividido.

Exemplo de MMC entre 8 e 15

8 - 15 | 2 (Dá para dividir o 8 por 2 que dá 4 e repete-se o 15 pois ele não pode ser dividido exatamente por 2)
4 - 15 | 2 (Novamente dá para dividir por 2 e repetindo-se o processo acima)
2 - 15 | 2
1 - 15 | 3 (15 pode ser dividido por 3 e como atingirmos 1 do lado esquerdo, paramos por aí mesmo)
1 - 5 | 5 (Cinco somente pode ser dividido por 5, então...)
1 - 1 | - Acabou!

Agora multipliquemos 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = MMC = 120

Voltando ao nosso problema e sabendo-se agora que o MMC é 2, deixamos o 2 que é o MMC no denominador. Depois dividimos o MMC pelo denominador de cada fração e multiplicamos pelo numerador, sempre respeitando os sinais:

3x= \frac{6}{1}- \frac{3}{2}

3x= \frac{(2 \div 1 \times 6) - (2 \div 2 \times 3)}{2}

O passo acima normalmente não é mostrado. Só coloquei para você entender que peguei o MMC = 2, dividi por cada um dos denominadores e multipliquei pelo numerador.

Assim, teremos:

3x= \frac{12 - 3}{2}

3x= \frac{9}{2}

Agora, passando o 3 de 3x dividindo:

x= \frac{\frac{9}{2}}{3}

e reescrevendo em formato de fração para ficar mais fácil o entendimento:

x= \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{1}}

Este formato já vimos anteriormente nesta resolução e portanto, vamos apenas reescrever a fração em formato de multiplicação:

x= \frac{9}{2} \times \frac{1}{3}

x= \frac{9 \ times 1}{2 \times 3}

x= \frac{9}{6}

Dá para perceber que 9 e 6 são ambos divisíveis por 3. Então, para simplificar, teremos que dividir OS DOIS (o numerador e o denominador) por 3, ficando com:

x= \frac{3}{2}

\blacksquare

Repare que o resultado é o mesmo que obtemos na primeira forma de se resolver o problema. Tivemos mais trabalho nesta segunda, porém é uma forma válida também.

Para saber se o resultado que obtivemos está correto, basta trocar o valor de "x" por este valor encontrado para ver se a igualdade é verdadeira, desta maneira:

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3 \times \frac{3}{2} \right) = 4 \Rightarrow \frac{2}{3} \left(\frac{3}{2} + \frac{9}{2} \right) = 4

\Rightarrow \frac{2}{3} \times \frac{12}{2} = 4 \Rightarrow \frac{24}{6} = 4 \;\;\; [Verdadeira]

E assim temos a certeza absoluta de que este resultado está correto!




Espero ter ajudado.



Grato



Sandro H. Nakaguma
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
nakagumahissao
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 385
Registrado em: Qua Abr 04, 2012 14:07
Localização: Brazil
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Lic. Matemática
Andamento: cursando

Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor Ariel » Ter Nov 10, 2015 19:08

Ajudou e MUITO! Muitíssimo obrigada pela explicação detalhada! Espero que eu tb possa te ajudar um dia! Abraços!!
Ariel
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 37
Registrado em: Dom Nov 09, 2014 16:33
Formação Escolar: ENSINO FUNDAMENTAL I
Andamento: cursando


Voltar para Álgebra Elementar

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 8 visitantes

 



Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.