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equações do segundo grau - como fazer

equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor Ariel » Seg Nov 09, 2015 21:52

Pessoal, estou ensinando o meu sobrinho, q tem duvidas. Deram à ele 2 equaçoes:
é pra resolver usando a fórmula de Bhaskara? é 8 ano. Encontrar o x.
Estou perguntando pq revirei livro todo e não achei este assunto lá.
Anexos
equaçoes.jpg
Ariel
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Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor nakagumahissao » Ter Nov 10, 2015 08:54

Ariel,


As equações que colocou no problema são equações do segundo grau. São do segundo grau porque o expoente maior é o dois. Expoente é o número que está sobre o "x".

Numa equação de segundo grau, descobriu-se que uma pequena fórmula poderia resolver o problema e ajudar a encontrar o valor de x. O nome da pessoa que descobriu isso foi Bháskara e a fórmulá é:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

chamamos costumeiramente o valor que se encontra debaixo do radical de "Delta". Assim:

\Delta = b^2 - 4ac

As variáveis "a", "b" e "c" são os coeficientes da equação. Os coeficientes são os números ao lado de cada "x". Um polinômio de segundo grau tem o seguinte formato:

ax^2 + bx^1 + cx^0 = 0

Mas, todo número elevado a ele mesmo é ele mesmo e todo número elevado a zero é igual a 1, o polinômio ficará da seguinte forma:

ax^2 + bx + c = 0

onde: a, b e c são números Reais e são chamados de coeficientes do polinômio e x é a variável. Da mesma forma, uma função do segundo grau é uma função do tipo:

f(x) = y =  ax^2 + bx + c onde para cada valor de x, existe um valor de y (ou f(x)) associado.

Resover uma equação quadrática (ou de segundo grau) significa encontrar os valores de x para que a equação seja igual a zero. Chamamos isso de Encontrar os zeros da equação.

As funções quadráticas aparecem muito em problemas financeiros, análises de estoques, engenharias (civil, mecânica, etc.), física, matemática, psicologia, biologia, etc.

Feitas as devidas observações, vamos então resolver as equações que você postou:


2x^2 - 6x = 0

Os coeficientes desta equação são:

a = 2, b = -6 e c = 0 (não foi mostrado e por isso vale zero).

Em uma equação onde o c = 0 podemos resolver sem o uso da fórmula de bháskara. Vamos resolver das duas formas, mas usar bháskara para resolver um problema desses apenas aumentaria o trabalho. Os resultados deverão ser os mesmos. Vejamos primeira SEM o uso da fórmula:

Em primeiro lugar, vamos fatorar a equação dada:

2x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow x(2x - 6) = 0

Assim, ao olhar para a equação final, podemos ver que: Ou x é igual a zero ou 2x - 6 é igual a zero para que o resultado desta multiplicação dê zero como resultado. Logo:

x = 0

ou

2x - 6 = 0 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = \frac{6}{2} \Leftrightarrow x = 3

Portanto a resposta é: x = 0 ou x = 3.


Vamos agora usar bháskara. Substituindo-se a, b e c na fórmula pelos valores dos coeficientes dados na equação, teremos:

x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(0)}}{2(2)}

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 0}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{36}}{4} = \frac{6 \pm 6}{4}

À partir daqui, temos duas soluções por causa do mais e menos existente na equação final. Vamos resolver um por um abaixo:

{x}_{1} = \frac{6 - 6}{4} \Rightarrow {x}_{1} = \frac{0}{4} \Rightarrow {x}_{1} = 0

{x}_{2} = \frac{6 + 6}{4} \Rightarrow {x}_{2} = \frac{12}{4} \Rightarrow {x}_{2} = 3

Como pode observar, os resultados são os mesmos: x = 0 ou x = 3

Para saber se o que fez para resolver o problema está correto ou não, basta pegar os valores encontrados e substituir na equação para ver se a equação se igualará a zero. Vamos fazer isso usando x = 0:

2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2(0)^2 - 6(0) = 2 \times 0 - 0 = 0 - 0 = 0 \;\;\; (Verdadeiro)

Agora, usando x = 3:

2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2(3)^2 - 6(3) = 2 \times 9 - 18 = 18 - 18 = 0 \;\;\; (Verdadeiro)

Assim, tiramos "a prova" de que os valores encontrados são realmente a resposta para o problema dado.


Vamos resolver o segundo problema agora:

x^2 - 10x + 25 = 0

Os coeficientes são: a = 1, b = -10 e c = 25

Assim, usando bháskara, obteremos:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(25)}}{2(1)}

x =\frac{10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{0}}{2}

x = \frac{10 \pm 0}{2} = \frac{10}{2} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow x = 5

Neste caso, obtivemos apenas uma resposta. As equações quadráticas podem possuir:

a) Nenhuma raiz Real (apenas complexos, mas isto é outra história)
b) 1 Raiz Real como neste caso onde x = 5 e não existe uma segunda resposta
c) 2 Raizes reais como no primeiro caso
d) 1 Raiz real e outra Complexa (isto é uma outra história também)

Para terminar esta questão, a resposta para ela é x = 5. Experimente trocar o x por 5 e verifique se dará zero. Se der, é porque a resposta está correta, caso contrário, tente resolver a questão para encontrar o valor correto.

Espero ter ajudado.



Sandro H. Nakaguma
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Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor Ariel » Ter Nov 10, 2015 13:55

Sandro, a sua resposta foi joia!!! Muito obrigada! Vc poderia resolver só mais um problema pra mim, mas de equação simples (o qual eu não consegui resolver)? Como eu posso te enviar?

Abs!!
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Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor nakagumahissao » Ter Nov 10, 2015 15:29

Pode postar aqui mesmo, na sequência, usando o Editor de Fórmulas. Se não souber, tire uma foto ou faça como o anterior. pode também postar uma nova pergunta neste fórum. Mesmo que eu não resolva, outros professores e/ou pessoas poderão resolver o problema para você.
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Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor Ariel » Ter Nov 10, 2015 16:02

é É esta em anexo... resolveram pra mim, mas não consegui entender. Primeiro não tem q fazer o q está entre parenteses?
Ou tem q multiplicar a fração pelas duas que estão entre parenteses?
Obrigada!
Anexos
equacao.jpg
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Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor nakagumahissao » Ter Nov 10, 2015 16:57

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4

Ariel, neste caso você poderia resolver de duas formas. O correto é eliminar-se os parênteses primeiro e como não é possível eliminar o parênteses somando os valores que estão dentro dele por causa do "x" e multiplicar pela fração que está do lado de fora, podemos aplicar a distributividade, que é uma das propriedades da aritmética.

Um exemplo de distributividade é:

a(b + c), onde a está multiplicando pela soma de b com c, assim:

a(b + c) = ab + ac

Um exemplo com números seria:

2(3 + 5) = 2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16, mas como podemos eliminar os parênteses somando-se primeiramente os números, poderíamos também resolver da seguinte forma:

2(3 + 5) = 2 x 8 = 16, que dá o mesmo resultado.

No caso do problema em questão, teríamos:

PRIMEIRA FORMA DE RESOLUÇÃO:

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4

\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \times 3x = 4

Na multiplicação de frações, multiplica-se o numerador pelo outro numerador e o denominador pelo outro denominador, lembrando que o denominador de 3x é 1, ou seja:

\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{3x}{1}= 4

Logo:

\frac{6}{6} + \frac{6x}{3} = 4

1 + \frac{6x}{3} = 4

\frac{6x}{3} = 4 - 1

\frac{6x}{3} = 3

2x = 3

x = \frac{3}{2}

\blacksquare

Uma outra forma de se resolver é perceber que existe um número multiplicando pela soma de outro número. Se fôssemos pensar em quadradinhos teríamos algo assim:

{\square}_{1} \times {\square}_{2} = 4

e como o primeiro quadradinho está multiplicando, podemos "passar para o outro lado do igual" dividindo, ou seja:

{\square}_{2} = \frac{4}{{\square}_{1}}

Assim,

SEGUNDA FORMA DE RESOLUÇÃO:

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4

\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = \frac{4}{\frac{2}{3}}

Reescrevendo a fração do lado direito do igual temos:

\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = \frac{\frac{4}{1}}{\frac{2}{3}}

Uma fração divida pela outra pode ser reescrita em formato de multiplicação da seguinte forma: (Este é apenas um exemplo)

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Repare que invertemos o denominador. Usando esta propriedade das frações, podemos continuar resolvendo da seguinte maneira:

\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = \frac{\frac{4}{1}}{\frac{2}{3}}

\frac{3}{2} + 3x = \frac{4}{1} \times \frac{3}{2}

\frac{3}{2} + 3x = \frac{12}{2}

\frac{3}{2} + 3x= 6

Reorganizando a equação, tem-se que:

3x= 6 - \frac{3}{2}

Reescrevendo o 6 como fração temos:

3x= \frac{6}{1}- \frac{3}{2}

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de 1 e 2 é 2 (Ver abaixo):

1 - 2 | 2
1 - 1 |

para obter o MMC, basta ir dividindo cada número por um número maior que 1 e ir deixando os resultados do lado esquerdo. Caso a divisão somente seja possível para um deles, divida ele pelo número colocado do lado direito da barra e coloque o resultado embaixo e reptia aquele que não poderá ser dividido.

Exemplo de MMC entre 8 e 15

8 - 15 | 2 (Dá para dividir o 8 por 2 que dá 4 e repete-se o 15 pois ele não pode ser dividido exatamente por 2)
4 - 15 | 2 (Novamente dá para dividir por 2 e repetindo-se o processo acima)
2 - 15 | 2
1 - 15 | 3 (15 pode ser dividido por 3 e como atingirmos 1 do lado esquerdo, paramos por aí mesmo)
1 - 5 | 5 (Cinco somente pode ser dividido por 5, então...)
1 - 1 | - Acabou!

Agora multipliquemos 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = MMC = 120

Voltando ao nosso problema e sabendo-se agora que o MMC é 2, deixamos o 2 que é o MMC no denominador. Depois dividimos o MMC pelo denominador de cada fração e multiplicamos pelo numerador, sempre respeitando os sinais:

3x= \frac{6}{1}- \frac{3}{2}

3x= \frac{(2 \div 1 \times 6) - (2 \div 2 \times 3)}{2}

O passo acima normalmente não é mostrado. Só coloquei para você entender que peguei o MMC = 2, dividi por cada um dos denominadores e multipliquei pelo numerador.

Assim, teremos:

3x= \frac{12 - 3}{2}

3x= \frac{9}{2}

Agora, passando o 3 de 3x dividindo:

x= \frac{\frac{9}{2}}{3}

e reescrevendo em formato de fração para ficar mais fácil o entendimento:

x= \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{1}}

Este formato já vimos anteriormente nesta resolução e portanto, vamos apenas reescrever a fração em formato de multiplicação:

x= \frac{9}{2} \times \frac{1}{3}

x= \frac{9 \ times 1}{2 \times 3}

x= \frac{9}{6}

Dá para perceber que 9 e 6 são ambos divisíveis por 3. Então, para simplificar, teremos que dividir OS DOIS (o numerador e o denominador) por 3, ficando com:

x= \frac{3}{2}

\blacksquare

Repare que o resultado é o mesmo que obtemos na primeira forma de se resolver o problema. Tivemos mais trabalho nesta segunda, porém é uma forma válida também.

Para saber se o resultado que obtivemos está correto, basta trocar o valor de "x" por este valor encontrado para ver se a igualdade é verdadeira, desta maneira:

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3x \right) = 4

\frac{2}{3}\left(\frac{3}{2} + 3 \times \frac{3}{2} \right) = 4 \Rightarrow \frac{2}{3} \left(\frac{3}{2} + \frac{9}{2} \right) = 4

\Rightarrow \frac{2}{3} \times \frac{12}{2} = 4 \Rightarrow \frac{24}{6} = 4 \;\;\; [Verdadeira]

E assim temos a certeza absoluta de que este resultado está correto!




Espero ter ajudado.



Grato



Sandro H. Nakaguma
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Re: equações do segundo grau - como fazer

Mensagempor Ariel » Ter Nov 10, 2015 19:08

Ajudou e MUITO! Muitíssimo obrigada pela explicação detalhada! Espero que eu tb possa te ajudar um dia! Abraços!!
Ariel
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D