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[Frações Algébricas] Como simplifico essa fração?

[Frações Algébricas] Como simplifico essa fração?

Mensagempor Kah » Qua Mar 18, 2015 17:44

Olá! Alguém pode me ajudar, por favor?

Como simplifico essa fração algébrica?

Sei que no numerador tenho uma diferença entre quadrados e no denominador um diferença entre cubos. Fiz assim:

Numerador:

m³ - 1 = (m - 1)(m² + m + 1)

Denominador

m^6 - 1 = (m²)³ - (1)³ = (m² - 1)(m^4 + m² + 1) = [(m + 1)(m - 1)]( m^4 + m² + 1 )

Simplifiquei (m - 1) do numerador com o (m - 1) do denominador, ficando assim:

(m² + m + 1)/ (m + 1)( m^4 + m² + 1 )

Não consigo sair disso :/

O que fiz de errado?
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Kah
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Re: [Frações Algébricas] Como simplifico essa fração?

Mensagempor Russman » Qua Mar 18, 2015 22:38

Pensei uma forma mais direta.

Se você tomar m^6 -1 = (m^3)^2 - 1^2 = (m^3+1)(m^3-1)

Daí,

\frac{m^3-1}{(m^3+1)(m^3-1)} = \frac{1}{m^3+1}

Mas você não fez errado.

Note que se você dividir \frac{m^2+m+1}{m^4+m^2+1} obterá \frac{1}{m^2-m+1} e, portanto, o resultado será

\frac{1}{(m+1)(m^2-m+1} = \frac{1}{m^3+1}.

Para dividir os polinômios basta observar seus graus. Já que o polinômio do numerador é de grau 2 e do denominador de grau 4 então o quaociente entre eles será um polinômio de grau zero dividido por um de grau 2.

Daí, suponha que existam reais a, b e c tais que

\frac{m^2+m+1}{m^4+m^2+1} = \frac{1}{am^2+bm+c}

Sem dificuldades você concluirá que

am^4 + (a+b) m^3 + (a+b+c)m^2 + m(c+b) + c = 0

de onde a=1, b=-1 e c=1 por igualdade de polinômios.
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.