[Fatoração] O que estou fazendo de errado?

por **giancarlo_vanitelli** » Ter Nov 25, 2014 16:22

Estudei todos os produtos notáveis, estudei o trinômio de Stewin, estudei um pouco como fatorar através do método de completar quadrados, porém mesmo assim há inúmeras fatorações que não faço ideia de como começar a resolver, parece que o que aprendi não é suficiente e tem algo a mais que sempre fica faltando nessa matéria (fatoração). Segue minhas tentativas de resolução de dois exercícios, peço por gentileza que apontem o que estou fazendo de errado.

Ex1) x²-4a²+6x+12a
= x(x+6)-4a(a-3)
=(x+6)(x-4)(a-3) < Minha resposta

Resposta informada no gabarito> (x+2a)(x-2a+6)

Ex2) a²-4b²+8a+12b+7
= a(a+8)-4b(b-3)+7
= (a+8)(b-3)(a-4b+7) < Minha resposta

Resposta informada no gabarito> (a+2b+1)(a-2b+7)

O que eu devo estudar para resolver este tipo de fatoração?

Desde já agradeço.

por **nakagumahissao** » Qua Nov 26, 2014 11:58

Exemplo 1:

$x^{2}-4a^{2}+6x+12a$

Nesta primeira, podemos observar a presença de x ao quadrado e 'a' ao quadrado. Percebemos também que esta primeira parte:

$x^{2}-4a^{2}$

se parece muito com o formato:

$(x + u)(x - u) = x^{2} - u^{2}$

Assim, para sabermos o valor de 'u' acima, bastará que façamos:

$u^{2} = 4a^{2} \Rightarrow u = \pm \sqrt[]{4a^{2}} = \pm |2a| = \pm 2a$

Logo, para esta primeira parte:

$x^{2} - 4a^{2} = (x - 2a)(x+2a)$

Para a segunda parte,

6x+12a = 6(x + 2a)

Juntando tudo, temos:

(x - 2a)(x+2a) + 6(x + 2a)

Como (x + 2a) aparece duas vezes, podemos colocá-lo em evidência para termos:

(x+2a)[(x - 2a) + 6] = (x+2a)(x - 2a + 6)

Que é a resposta desejada para este primeiro exemplo.

por **nakagumahissao** » Qua Nov 26, 2014 16:14

Para a situação do

$a^{2} - 4b^{2} + 8a + 12b + 7$

Note que:
$a^{2} - 4b^{2} = (a-2b)(a+2b)$

e que 7 somente poderá ser produzido por 7 vezes 1. Assim

$a^{2} - 4b^{2} + 8a + 12b + 7 = (a - 2b + 1)(a+2b+7)$

ou

$a^{2} - 4b^{2} + 8a + 12b + 7 = (a+2b+1)(a - 2b + 7)$

tanto faz.

por **giancarlo_vanitelli** » Qua Nov 26, 2014 18:36

Obrigado Nakagumahissao,
há algum método a ser utilizado nesse tipo de fatoração (2° caso) ou o mesmo apenas pode resolvido através da logica msm? Tenho bastante dificuldade neste tipo de fatoração.

por **nakagumahissao** » Qua Nov 26, 2014 19:28

Não veja uma forma mais fácil a não ser um pouco de criatividade em cada situação dessas.

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