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[Estruturas Algébricas] Isomorfismo

[Estruturas Algébricas] Isomorfismo

Mensagempor Pessoa Estranha » Qui Nov 13, 2014 17:58

Olá, pessoal!

Preciso de ajuda num exercício.

"Prove que o grupo de Klein e {Z}_{4} não são isomorfos."

Eu sei que o grupo de Klein apresenta quatro elementos, sendo um deles o elemento neutro, e tais que a cada dois operados entre si, resulta no terceiro. Daí, como o exercício não especifica os elementos, tomei um genérico: G = \{e, a, b, c\}. Já o {Z}_{4} é o grupo das classes de restos, ou seja, {Z}_{4}= \left\{\frac{}{0},\frac{}{1},\frac{}{2},\frac{}{3}\right\}. O problema é que, para mim, devemos mostrar que uma f: G \rightarrow {Z}_{4} é homomorfismo bijetor. Mas, como fazer isso se o exercício não informa qual é a lei da f e muito menos as operações envolvidas ?! Pode ser burrice minha não saber disso, mas nem mesmo o livro mostra como resolver este tipo de exercício. Todos os exemplos são com f definidas, operações definidas. O livro sugere: "Tomar um possível homomofismo f e mostrar que não é bijetora".

Por favor, eu imploro por ajuda! O professor vai ficar bravo se eu perguntar, vai rir de mim. A internet não está ajudando. O livro faz apenas uma sugestão que pra mim não está fazendo sentido. Por favor, eu não sei mais o que fazer! Por favor, ajudem!!!!!!!!!!
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Re: [Estruturas Algébricas] Isomorfismo

Mensagempor adauto martins » Qua Nov 19, 2014 15:03

K={e,a,b,ab},uma das formas de apresentar o grupo de KLEIN...vamos tomar uma funçao q. e bijetiva e isomorfa em Z...
f(n)=n e usa-la no problema(f sendo isomorfa em Z,entao f(n.m)=f(m)+f(n),n e m inteiros)...entao seja f:K\rightarrow{Z}_{4}/f(k)={k}^{-},onde k\in K,{k}^{-}\in {Z}_{4}logo teremos f(a(ab))=f(a)+f(ab)={1}^{-}+{3}^{-}=({1+3})^{-}={4}^{-}={0}^{-}=f(e)\Rightarrow a(ab)=e,pois f e bijetiva...entao \exists {a}^{-1}\in Ktal q. {a}^{-1}a(ab)={a}^{-1}.e={a}^{-1}\Rightarrow ab={a}^{-1}q. e uma contradiçao pois os elementos de K, so admite inverso(inverso multiplicativo ou simetrico aditivo)dele proprio...logo por f,K nao e isomorfo com {Z}_{4}
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Re: [Estruturas Algébricas] Isomorfismo

Mensagempor adauto martins » Qui Nov 20, 2014 10:22

ops!uma correçao...a funçao f:Z\rightarrow Z,f bijetiva e isomorfa em Z, nao possue a propriedade q. expus,a saber...f(n.m)=f(n)+f(m),e sim os homorfismos f(n.m)=f(n).f(m),f(n+m)=f(n)+f(m),entao...
f(a+ab)=f(a)+f(ab)={1}^{-}+{3}^{-}=({1+3})^{-}={0}^{-}=f(e),com f e bijetiva teremos...
a+ab=e\Rightarrow \exists {a}^{-1}\in K / {a}^{-1}+a+ab={a}^{-1}+e={a}^{-1}\Rightarrow ab={a}^{-1},o q. e uma contradiçao em K...entao por f, K nao e isomorfo a {Z}_{4}
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Re: [Estruturas Algébricas] Isomorfismo

Mensagempor Pessoa Estranha » Sex Nov 21, 2014 15:42

Desculpe, mas não entendi.
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Re: [Estruturas Algébricas] Isomorfismo

Mensagempor adauto martins » Sex Nov 21, 2014 16:53

eh grupos de klein,K sao complicados mesmo...sao isomorfos a {Z}_{2}(prove como exercicios) e {Z}_{3}(esse muito dificil),estude mais e vc compreendera a resoluçao...
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Re: [Estruturas Algébricas] Isomorfismo

Mensagempor Pessoa Estranha » Sáb Nov 22, 2014 14:42

adauto martins escreveu:f(a+ab)=f(a)+f(ab)={1}^{-}+{3}^{-}=({1+3})^{-}={0}^{-}=f(e)


Por que?
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Re: [Estruturas Algébricas] Isomorfismo

Mensagempor adauto martins » Sáb Nov 22, 2014 15:10

f:K\rightarrow {Z}_{4}...tomei f(n)=n,q. e bijetiva e um homomorfismo em Z,para mostrar q. K nao eh isomorfismo em {Z}_{4}...como f e homomorfismo em Z,ou melhor(Z,+),tomei a propriedade de f(n+m)=f(n)+f(m),n,m inteiro e atraves desse homomorfismo da soma,mostrar q. nao se tem um homomorfismo de K em {Z}_{4}...sejam a,b elementos de K,q. em geral e representado por K={e,a,b,a.b}...entao:
f(a+a.b)={1}^{-}+{3}^{-}=({1+3})^{-}={4}^{-}={0}^{-}=f(e),onde {Z}_{4}=({0}^{-},{1}^{-},{2}^{-},{3}^{-}),
logo como f e bijetiva,entao posso tomar seus argumentos,a+(a.b)=e,entao como K,e um grupo,existe o elemento inverso(inverso multiplicativo,ou simetrico aditivo),no nosso caso simetrico aditivo,{a}^{-1},tal q. {a}^{-1}+a+(ab)={a}^{-1}+e={a}^{-1},(ab)={a}^{-1}o q. nos leva a uma contradiçao,pois os elementos de K,somente admitem inverso(ou simetrico) deles proprios...entao K nao e isomorfo a {Z}^{4}...provamos usando a funçao bijetiva f
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Re: [Estruturas Algébricas] Isomorfismo

Mensagempor Pessoa Estranha » Sáb Nov 22, 2014 15:35

Agora melhorou... Agradeço muito o seu empenho, a sua ajuda! Até mais! :y:

Muito Obrigada
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59