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Mensagempor marinalcd » Sex Abr 25, 2014 13:09

Não estou conseguindo provar esta afirmação. Alguém consegue me ajudar?

Seja (G,.), um grupo formado por 3 elementos. Prove que G é abeliano.
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Re: Grupo Abeliano

Mensagempor adauto martins » Qui Nov 27, 2014 14:44

sendo (G,.) um grupo multiplicativo ,entao G={e,a,b} tal q.
1)a.e=e.a=a
2)\exists {a}^{-1}\in Gtal q. {a}^{-1}.a=a.{a}^{-1}=e
3)e.(a.b)=(e.a).b...logo G={e,a,b} e gerado pelo subgrupo G'={e,a,{a}^{-1}},q. e o menor grupo de ordem 3...q. eh abeliano,pois por 2)\exists b={a}^{-1}\in Gtal q. {a}^{-1}.a=a.{a}^{-1}=b.a=a.b=e...todo grupo ou subgrupo de ordem prima e abeliano(teorema)...ou seja alem das propriedades fundamentais de grupo,seus elementos se comutam...
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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