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algebra para licenciatura

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Mensagempor daianalemos10 » Ter Jan 21, 2014 14:45

Reais e complexos são isomorfos como aneis?
mostre que Qsqrt[2] e  Q sqrt[3] não são isomorfos.

Sejam R e S aneis comutativos com unidade. Se \phi é um homomorfismo de R sobre S e a caracteristica de R é não nula, prove que a caracteristica de S divide a caracteristica de R.

(não sei nem como começar)
daianalemos10
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Re: algebra para licenciatura

Mensagempor adauto martins » Qua Dez 28, 2016 17:08

seja K={(x,0)/(x,0)\in C},onde C é o conj.numeros complexos,a saber:
C={z=(x,y)/z=x+yi,i=\sqrt[]{-1}}...vamos tomar f:\Re \rightarrow K e tal q.
f(x)=(x,0),entao:



1)f(x+y)=((x+y),0)=(x,0)+(y,0)=f(x)+f(y)...

f(x.y)=((x.y,0)=(x,0).(y,0)=f(x).f(y)...,logo f e homomorfica...
pela definiçao de f,temos que:
\forall y\in K,\exists x\in \Re/y=f(x,0),ou seja ,f é sobrejetiva,logo f é um isomorfismo...em geral,temos que:
f:{\Re}^{2}=\ReX\Re\rightarrow Cf:{\Re}^{2}=\ReX\Re\rightarrow Cf:{\Re}^{2}=\Re X \Re\rightarrow C é um isomorfismo(prove isso!)...
agora:
f:Q[\sqrt[]{2}]\rightarrow Q[\sqrt[]{3}],nao é um isomorfismo,pois:
sabemos que:Q[\sqrt[]{2}]={p+q\sqrt[]{2}p+q\sqrt[]{2}/p,q \in Q}...Q[\sqrt[]{3}]={m+n\sqrt[]{3}/m,n \in Q}...
suponhamos q.:
f:Q[\sqrt[]{2}]\rightarrow Q[\sqrt[]{3}] seja um isomorfismo,logo:
f(2)=f(\sqrt[]{2}.\sqrt[]{2})=a+b\sqrt[]{3},como f é um isomorfismo,teriamos entao q.:
f(1)=1...f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2...se:
[tex]{f(2)}^{2}={(a+b\sqrt[]{3}})^{2}\Rightarrow 4={a}^{2}+2.ab\sqrt[]{3}+3.{b}^{2}...\sqrt[]{3}=(4-3.{b}^{2})/a.b,p/a,b\neq 0...(4-3.{b}^{2})/a.b \in Q(racionais){f(2)}^{2}={(a+b\sqrt[]{3}})^{2}\Rightarrow 4={a}^{2}+2.ab\sqrt[]{3}+3.{b}^{2}...\sqrt[]{3}=(4-3.{b}^{2})/a.b,p/a,b\neq 0...(4-3.{b}^{2})/a.b \in Q(racionais),logo uma contradiçao...entao f nao é um homomorfismo,e como consequencia nao é um isomorfismo...

\phi:R\rightarrow S\phi:R\rightarrow S é por hipotese um homomorfismo,logo é injetivo,entao:
NUC[\phi]={x \in R/\phi(x)={0}_{S}}...entao:
{0}_{S}=\phi({0}_{R})=\phi({1}_{R}.m)=\phi({1}_{R}).\phi(m)={1}_{s}.\phi(m)={1}_{S}.n\Rightarrow existe k \in S,tal que k divide {1}_{S},n...,como {1}_{S} divide apenas ele proprio,logo n=km...
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?