[Equação Cúbica]Calcular x^3 + y^3 = 9xy pela equação cúbica

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[Equação Cúbica]Calcular x^3 + y^3 = 9xy pela equação cúbica

Mensagempor jricardo » Sáb Ago 17, 2013 01:13

Olá, estou estudando o livro Cálculo de George Thomas, edição 11°. Na página 205 deste livro, consegui entender o exemplo referente ao fólio de Descartes por meio da derivada implícita, porém, no final deste exemplo é apresentado uma outra forma de resolver o problema em questão, porém com o uso de uma fórmula para as três raízes de uma equação cúbica parecida com a fórmula quadrática {y}^{2} + {x}^{2}=2xy, que neste caso sería {x}^{3} + {y}^{3}=9xy.

Neste exemplo é apresentado como resultado as seguintes equações:

y = f(x) = \sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2} + \sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}+\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2}-\sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}

e

y = \frac{1}{2}\left[-f(x)+\sqrt[2]{-3} \left(\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2} + \sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}-\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2}-\sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}} \right) \right]

ou

y = \frac{1}{2}\left[-f(x)-\sqrt[2]{-3} \left(\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2} + \sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}}-\sqrt[3]{-\frac{{x}^{3}}{2}-\sqrt[2]{\frac{{x}^{6}}{4}}-27{x}^{3}} \right) \right]

A dúvida é, como chegar a este resultado, pois o máximo que consegui foi:

y = f(x) = \sqrt[3]{9xy - {x}^{3}}

Alguém pode me ajudar.

Desde já, deixo o meu agradecimento.
jricardo
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.

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