[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

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[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

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[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor ferfer » Dom Mai 26, 2013 13:38

Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Então, eu fiz um parecido que era provar o mdc( 2n + 1 , n), usando o algoritmo de Euclides... só que foi fácil!
Este que postei no forum, eu não consegui desenvolver! Há outra maneira sem algoritmo de Euclides?

Obrigado
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor e8group » Dom Mai 26, 2013 15:48

Já pensou em supor dois casos : 1°) caso : n é impar ; 2º) caso : n é par ,para ambos casos , existe algum número inteiro k[tex] tal que se [tex] n é impar entãon = 2k+1 ;caso contrário n = 2k . Tente analisar os dois casos .
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor ferfer » Seg Mai 27, 2013 10:53

Santhiago,

Obrigado pela resposta.
Então, numa questão que é necessário provar, eu posso substituir os casos (par e ímpar) por números? Ou vc não queria dizer isso?

Porque os exercícios de 'calcule' eu consigo realizar tranquilamente. Já os de 'prove', tenho esta dificuldade.

Obrigado
ferfer
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor e8group » Seg Mai 27, 2013 23:31

Outra alternativa que pensei .

Podemos escrever que 2(n+1) - (2n+1) = (2n+1) -2(n) = 1 .Assim , se m = mdc(2n+1,n(n+1)/2), então m divide 2n+1 e n(n+1)/2.Mas ,desde que m divide n(n+1)/2 ,necessariamente m dividirá n ou n+1 .Analisando ambos casos ,pela igualdade 2(n+1) - (2n+1) = (2n+1) -2(n) = 1 concluímos que m = 1 (pois caso contrário ele não dividiria ,2n+1 , n+1, n nem mesmo n(n+1)/2 )

ferfer escreveu:Santhiago,

Obrigado pela resposta.
Então, numa questão que é necessário provar, eu posso substituir os casos (par e ímpar) por números? Ou vc não queria dizer isso?

Porque os exercícios de 'calcule' eu consigo realizar tranquilamente. Já os de 'prove', tenho esta dificuldade.

Obrigado


Não precisamos generalizar .Se n é par então \exists k \in \mathbb{Z} tal que n = 2k ,e se ele for impar n = 2k + 1 .
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor e8group » Qui Mai 30, 2013 13:09

Obs .: Foi mencionado que m divide n e n+1 ,mas isto não foi provado.Esta prova é simples,ela segue dos itens (i),(ii) + hipótese de m = mdc(2n+1,n(n+1)/2).De fato podemos usar (i),(ii) para provar que m divide n,n+1, assim , como m = mdc(2n+1,n(n+1)/2) = 1 ,pois :

1 = 1 + 0 = 1 + [(2n) +(-2n)] = (1+2n)- 2(n) = 2(n+1) -(2n+1) que resulta :


(i) 2n+1 - 2(n) = 1


(ii) 2(n+1) -(2n+1) = 1

Agora,multiplicando (i) por n+1 e (ii) por n ,obtemos

(*) (n+1)(2n+1) - 4[(n)(n+1)/2] = n+1


(**) 4[n(n+1)/2] -n(2n+1) = n

Suponha que os números inteiros a ,b sejam, respectivamente, o resultado da divisão de 2n+1 e n(n+1)/2 por m ; assim multiplicando-se (*) ,(**) por m^{-1}=1/m (é claro que m\neq 0 ) obtemos ,

(n+1)a - 4b = (n+1)/m

e

4a - nb = n/m .

Como a,b,n+1 \in \mathbb{Z} então [(n+1)a - 4b] \in \mathbb{Z} o que implica m divide n+1 .Analogamente ,chega-se a conclusão que m divide n .

Agora, basta utilizar este resultado + os itens (i) ,(ii) p/ concluir que m = 1 .Espero que ajude .

Por enquanto é isso que pensei em utilizar .
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor ferfer » Qui Mai 30, 2013 13:22

Santiago,

Perfeito! Ótima explicação... Deu para entender e evoluir bastante.

Obrigado
ferfer
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D

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