[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

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[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

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[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor ferfer » Dom Mai 26, 2013 13:38

Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Então, eu fiz um parecido que era provar o mdc( 2n + 1 , n), usando o algoritmo de Euclides... só que foi fácil!
Este que postei no forum, eu não consegui desenvolver! Há outra maneira sem algoritmo de Euclides?

Obrigado
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor e8group » Dom Mai 26, 2013 15:48

Já pensou em supor dois casos : 1°) caso : n é impar ; 2º) caso : n é par ,para ambos casos , existe algum número inteiro k[tex] tal que se [tex] n é impar entãon = 2k+1 ;caso contrário n = 2k . Tente analisar os dois casos .
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor ferfer » Seg Mai 27, 2013 10:53

Santhiago,

Obrigado pela resposta.
Então, numa questão que é necessário provar, eu posso substituir os casos (par e ímpar) por números? Ou vc não queria dizer isso?

Porque os exercícios de 'calcule' eu consigo realizar tranquilamente. Já os de 'prove', tenho esta dificuldade.

Obrigado
ferfer
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor e8group » Seg Mai 27, 2013 23:31

Outra alternativa que pensei .

Podemos escrever que 2(n+1) - (2n+1) = (2n+1) -2(n) = 1 .Assim , se m = mdc(2n+1,n(n+1)/2), então m divide 2n+1 e n(n+1)/2.Mas ,desde que m divide n(n+1)/2 ,necessariamente m dividirá n ou n+1 .Analisando ambos casos ,pela igualdade 2(n+1) - (2n+1) = (2n+1) -2(n) = 1 concluímos que m = 1 (pois caso contrário ele não dividiria ,2n+1 , n+1, n nem mesmo n(n+1)/2 )

ferfer escreveu:Santhiago,

Obrigado pela resposta.
Então, numa questão que é necessário provar, eu posso substituir os casos (par e ímpar) por números? Ou vc não queria dizer isso?

Porque os exercícios de 'calcule' eu consigo realizar tranquilamente. Já os de 'prove', tenho esta dificuldade.

Obrigado


Não precisamos generalizar .Se n é par então \exists k \in \mathbb{Z} tal que n = 2k ,e se ele for impar n = 2k + 1 .
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor e8group » Qui Mai 30, 2013 13:09

Obs .: Foi mencionado que m divide n e n+1 ,mas isto não foi provado.Esta prova é simples,ela segue dos itens (i),(ii) + hipótese de m = mdc(2n+1,n(n+1)/2).De fato podemos usar (i),(ii) para provar que m divide n,n+1, assim , como m = mdc(2n+1,n(n+1)/2) = 1 ,pois :

1 = 1 + 0 = 1 + [(2n) +(-2n)] = (1+2n)- 2(n) = 2(n+1) -(2n+1) que resulta :


(i) 2n+1 - 2(n) = 1


(ii) 2(n+1) -(2n+1) = 1

Agora,multiplicando (i) por n+1 e (ii) por n ,obtemos

(*) (n+1)(2n+1) - 4[(n)(n+1)/2] = n+1


(**) 4[n(n+1)/2] -n(2n+1) = n

Suponha que os números inteiros a ,b sejam, respectivamente, o resultado da divisão de 2n+1 e n(n+1)/2 por m ; assim multiplicando-se (*) ,(**) por m^{-1}=1/m (é claro que m\neq 0 ) obtemos ,

(n+1)a - 4b = (n+1)/m

e

4a - nb = n/m .

Como a,b,n+1 \in \mathbb{Z} então [(n+1)a - 4b] \in \mathbb{Z} o que implica m divide n+1 .Analogamente ,chega-se a conclusão que m divide n .

Agora, basta utilizar este resultado + os itens (i) ,(ii) p/ concluir que m = 1 .Espero que ajude .

Por enquanto é isso que pensei em utilizar .
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor ferfer » Qui Mai 30, 2013 13:22

Santiago,

Perfeito! Ótima explicação... Deu para entender e evoluir bastante.

Obrigado
ferfer
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