[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

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[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

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[MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor ferfer » Dom Mai 26, 2013 13:38

Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Então, eu fiz um parecido que era provar o mdc( 2n + 1 , n), usando o algoritmo de Euclides... só que foi fácil!
Este que postei no forum, eu não consegui desenvolver! Há outra maneira sem algoritmo de Euclides?

Obrigado
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor e8group » Dom Mai 26, 2013 15:48

Já pensou em supor dois casos : 1°) caso : n é impar ; 2º) caso : n é par ,para ambos casos , existe algum número inteiro k[tex] tal que se [tex] n é impar entãon = 2k+1 ;caso contrário n = 2k . Tente analisar os dois casos .
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor ferfer » Seg Mai 27, 2013 10:53

Santhiago,

Obrigado pela resposta.
Então, numa questão que é necessário provar, eu posso substituir os casos (par e ímpar) por números? Ou vc não queria dizer isso?

Porque os exercícios de 'calcule' eu consigo realizar tranquilamente. Já os de 'prove', tenho esta dificuldade.

Obrigado
ferfer
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor e8group » Seg Mai 27, 2013 23:31

Outra alternativa que pensei .

Podemos escrever que 2(n+1) - (2n+1) = (2n+1) -2(n) = 1 .Assim , se m = mdc(2n+1,n(n+1)/2), então m divide 2n+1 e n(n+1)/2.Mas ,desde que m divide n(n+1)/2 ,necessariamente m dividirá n ou n+1 .Analisando ambos casos ,pela igualdade 2(n+1) - (2n+1) = (2n+1) -2(n) = 1 concluímos que m = 1 (pois caso contrário ele não dividiria ,2n+1 , n+1, n nem mesmo n(n+1)/2 )

ferfer escreveu:Santhiago,

Obrigado pela resposta.
Então, numa questão que é necessário provar, eu posso substituir os casos (par e ímpar) por números? Ou vc não queria dizer isso?

Porque os exercícios de 'calcule' eu consigo realizar tranquilamente. Já os de 'prove', tenho esta dificuldade.

Obrigado


Não precisamos generalizar .Se n é par então \exists k \in \mathbb{Z} tal que n = 2k ,e se ele for impar n = 2k + 1 .
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor e8group » Qui Mai 30, 2013 13:09

Obs .: Foi mencionado que m divide n e n+1 ,mas isto não foi provado.Esta prova é simples,ela segue dos itens (i),(ii) + hipótese de m = mdc(2n+1,n(n+1)/2).De fato podemos usar (i),(ii) para provar que m divide n,n+1, assim , como m = mdc(2n+1,n(n+1)/2) = 1 ,pois :

1 = 1 + 0 = 1 + [(2n) +(-2n)] = (1+2n)- 2(n) = 2(n+1) -(2n+1) que resulta :


(i) 2n+1 - 2(n) = 1


(ii) 2(n+1) -(2n+1) = 1

Agora,multiplicando (i) por n+1 e (ii) por n ,obtemos

(*) (n+1)(2n+1) - 4[(n)(n+1)/2] = n+1


(**) 4[n(n+1)/2] -n(2n+1) = n

Suponha que os números inteiros a ,b sejam, respectivamente, o resultado da divisão de 2n+1 e n(n+1)/2 por m ; assim multiplicando-se (*) ,(**) por m^{-1}=1/m (é claro que m\neq 0 ) obtemos ,

(n+1)a - 4b = (n+1)/m

e

4a - nb = n/m .

Como a,b,n+1 \in \mathbb{Z} então [(n+1)a - 4b] \in \mathbb{Z} o que implica m divide n+1 .Analogamente ,chega-se a conclusão que m divide n .

Agora, basta utilizar este resultado + os itens (i) ,(ii) p/ concluir que m = 1 .Espero que ajude .

Por enquanto é isso que pensei em utilizar .
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Re: [MDC] Mostre que, ?n ? Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Mensagempor ferfer » Qui Mai 30, 2013 13:22

Santiago,

Perfeito! Ótima explicação... Deu para entender e evoluir bastante.

Obrigado
ferfer
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.

Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:

Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?


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