[ Fatoração] Olimpíada da Irlanda- 93

por **chronoss** » Qui Abr 18, 2013 15:22

Os números reais $\alpha\:\,e\,\:\beta$ satisfazem as equações :

$\alpha^{3}\:-3\alpha^{2}\:+5\alpha \:-17\,=\,0$

$\beta^{3}\:-3\beta^{2}\:+5\beta \:+11\,=\,0$

Determine $\alpha\:+\:\beta$

Tentei de diversas formas fatorar mas não obtive sucesso.

Resposta : 2

por **e8group** » Qui Abr 18, 2013 20:12

Vamos ver o que acontece se somarmos as duas equações :

$\alpha^3 + \beta^3 -3\alpha^2 - 3\beta^2 + 5\alpha +5\beta - 6 = 0$ .

Além disso ,como $(\alpha +\beta)^3 = \alpha^3+3 \alpha^2 \beta+3 \alpha \beta^2+\beta^3$ , obtemos que $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha +\beta)^3 -3 \alpha^2 \beta-3 \alpha \beta^2$ .Assim ,

a equação $\alpha^3 + \beta^3 -3\alpha^2 - 3\beta^2 + 5\alpha +5\beta - 6 = 0$ é equivalente a

$(\alpha +\beta)^3 -3 \alpha^2 \beta-3 \alpha \beta^2 - 3\alpha^2 - 3\beta^2 + 5\alpha +5\beta - 6 = 0$ .

ou ainda $(\alpha +\beta)^3 - 3(\alpha +\beta)^2 -3\alpha\beta(\alpha +\beta) + 5(\alpha +\beta) -6 +6\alpha\beta = 0$ .

Assim , o valor de a+b

corresponde a raiz do polinômio $p(x) = x^3 - 3x^2 -3\alpha\beta x + 5x -6 +6\alpha\beta$ .

Mas , $p(x) = x^3 - 3x^2 -3\alpha\beta(x-2) + 5x - 6 =$

$x^3 -2x^2 -x^2 -3\alpha\beta(x-2) + 5x - 6 =$

$x^2(x-2) + -3\alpha\beta(x-2) -x^2 +5x - 6 =$

$x^2(x-2) + -3\alpha\beta(x-2) -(x^2 -2x -3x + 6) =$

$x^2(x-2) + -3\alpha\beta(x-2) -(x[x -2] -3[x - 2]) =$

Deixando x-2

em evidência ,segue

$p(x) =(x-2)(x^2 -3\alpha \beta -[x-3])$ .

Assim , p(2) = 0

; logo

.

Há de ter outra forma também de se resolver este exercício, talvez até seja mais simples .

por **chronoss** » Qui Abr 18, 2013 22:49

Obrigado santhiago , e bela resolução.

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