[Álgebra] Princípio da indução finita com desigualdades

por **Victor Franca** » Seg Mar 04, 2013 21:05

Provar por PIF:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 > \frac{n^4}{4}\: (\forall n \in \mathbb{N}^*)$

Como faria?

Fiz assim, primeiro:

$n = 1 \\ 1^3 > \frac{1^4}{4} \\ 1 > \frac{1}{4} \\$

Segundo:
(Hipótese)
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 > \frac{(n^4)}{4}$
Provando:
$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 > \frac{(n+1)^4}{4} \\ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 > \frac{(n^4)}{4} + \frac{4n^3 + 6n^2 + 4n + 1}{4} \\ n^3 + 3n^2 + 3n + 1 > \frac{4n^3 + 6n^2 + 4n + 1}{4} \\ 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4 > 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 \\ 6n^2+8n+3 > 0$
Para qualquer número natural não nulo essa proposição é verdadeira.

Seria assim? Me parece que ficou meio vago provar dessa forma, apesar de realmente a última proposição ser verdadeira.

Outra questão é a seguinte:

$(1+a)^n \geq 1 + na (\forall n \in \mathbb{N}^*, \forall a \in \mathbb{R}, a \geq -1)$
Essa eu estou me embolando... Não estou conseguindo iniciar a questão

O ruim dos livros do Iezzi é que o gabarito é muito incompleto...

por **young_jedi** » Seg Mar 04, 2013 23:43

da maneira que voce fez esta correto, tambem poderia ser feito assim
voce pode dizer que

$1^3+2^3+3^3+4^3\dots n^3+(n+1)^3>\frac{n^4}{4}+(n+1)^3$

$1^3+2^3+3^3+4^3\dots n^3+(n+1)^3>\frac{n^4}{4}+n^3+3n^2+3n+1$

$1^3+2^3+3^3+4^3\dots n^3+(n+1)^3>\frac{n^4}{4}+\frac{4n^3+12n^2+12n+4}{4}$

$1^3+2^3+3^3+4^3\dots n^3+(n+1)^3>\frac{n^4+4n^3+6n^2+4n+1+6n^2+8n+3}{4}$

$1^3+2^3+3^3+4^3\dots n^3+(n+1)^3>\frac{(n+1)^4+6n^2+8n+3}{4}$

$1^3+2^3+3^3+4^3\dots n^3+(n+1)^3>\frac{(n+1)^4}{4}+\frac{6n^2+8n+3}{4}$

como n é um valor inteiro positivo então

$\frac{6n^2+8n+3}{4}>0$

portanto

$1^3+2^3+3^3+4^3\dots n^3+(n+1)^3>\frac{(n+1)^4}{4}$

então esta demonstrado aquilo que se queria

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