Algoritmo de Euclides estendido

[Nane]

Dados a e b inteiros, seja d=mdc(a,b) então existem r e s inteiros tais que ra+sb=d.Usando o algoritmo de Euclides estendido mostre que se p é primo e a e b são inteiros tais que p é divisor de ab, então p é divisor de a ou p é divisor de b.

Preciso de ajuda.

p é primo, então p é divisível por p e 1
a e b inteiros
p/ab, então p/a ou p/b

[Rosangela Ramos]

Seja p um primo e a e b inteiros tais que p é divisor de ab.

Queremos provar que p é divisor de a ou p é divisor de b. Ou seja, queremos provar que se p não é divisor de a então p tem que ser divisor b.

Suponha que p não é divisor de a. Como p é primo, p só tem dois divisores (1 e p) e como p não divide a, temos então que mdc(a,p)=1. Pelo algoritmo estendido de Euclides temos então que existem r e s inteiros tais que

s.a+r.p=1

Multiplicando ambos os membros por b, temos

s.a.b + r.p.b = b

Mas p divide a.b e p claramente divide p.b logo p divide s.a.b + r.p.b, ou seja,
p divide b.

[Nane]

Obrigada pela ajuda, tenho ainda dificuldades em trabalhar com essas novas ferramentas, fórum, etc.

[Rosangela Ramos]

vou te enviar uma definição mais detalhada...tudo bem?

[Nane]

Consegui entender e reescrever essa proposição.
Valeu,
atenciosamente,
Nane