Equação Algébrica (c/ relações de Girard)

por **Carolziiinhaaah** » Sáb Jun 19, 2010 01:11

Determinar p e q de modo que a equação ${x}^{4} + {px}^{3} + {2x}^{2} - x + q = 0$ , apresente duas raízes recíprocas entre si e as outras duas com soma igual a 1.

gabarito: p=-2

e

por **Douglasm** » Dom Jun 20, 2010 09:23

Esse problema, ao meu ver é mais teórico. Note que a definição de equação recíproca é:

*Dizemos que uma equação polinomial é recíproca se, quando o número k atende à equação, tivermos que 1/k também atende. (Matemática em Nível IME/ITA - Caio Guimarães)

Por conta disso, é fácil notar que esta é uma recíproca de 2ª espécie (coeficientes equidistantes do "centro" possuem módulos iguais e sinais opostos) e que, consequentemente:

p = -2

q = 0

Até a próxima.

por **Carolziiinhaaah** » Seg Jun 21, 2010 19:19

Entendi sua explicação, Douglas.. mas não a resolução da questão. Entao, nesse caso, o

não deveria assumir o valor de

, e o

tbm? :/

por **Douglasm** » Seg Jun 21, 2010 22:31

Ola Carolzinha. Por favor desconsidere a minha resolução, eu assumi que a equação era de 2ª espécie, quando não poderia tê-lo feito. Sendo assim, fiz pelas relações de Girard e encontrei que ambas as soluções são válidas.

Inicialmente sabemos que:

$\alpha + \beta = 1$

$x + \frac{1}{x} + \alpha + \beta = -p \; \therefore \; x + \frac{1}{x} + 1 = -p$
(note que a soma das raízes é dada por $\frac{-a_2}{a_1}$ )

$x \; . \; \frac{1}{x} \; . \; \alpha \; . \; \beta = q \; \therefore \; \alpha \; . \; \beta = q$

Agora vamos usar as somas de Girard que conhecemos, que são:

$x.\frac{1}{x} + x.\alpha + x.\beta + \frac{\alpha}{x} + \frac{\beta}{x} + \alpha.\beta = \frac{a_3}{a_1}$

$1 + x(\alpha + \beta) + \frac{(\alpha + \beta)}{x} + \alpha.\beta = 2 \; \therefore$

$q-p = 2 \; \fbox{I}$

$x.\frac{1}{x}.\alpha + x.\frac{1}{x}.\beta + \alpha.\beta.x + \frac{\alpha.\beta}{x} = \frac{-a_4}{a_1}$

$\alpha + \beta + q(x + \frac{1}{x}) = 1 \; \therefore \; -q(p+1) = 0 \; \fbox{II} \; \therefore$

Usando as relações I e II:

$q = 0 \; e \; p = -2$

$q = 1 \; e \; p = -1$

Eu testei as soluções, e não encontrei motivo para descartar qualquer uma delas. Talvez seja interessante consultar seu professor. Até a próxima.