Propriedades de Potenciação.

por **jramiresbrito** » Qui Mai 05, 2016 17:58

Boa tarde caríssimos.

Gostaria de tirar algumas dúvidas sobre propriedades de potenciação.
Vamos lá:

Como somar/subtrair potências de bases iguais e expoentes diferentes?
Ou seja, como resolver algo do tipo: $a^\frac{1}{2}+a^\frac{1}{4}$ SEM TRANSFORMAR EM RAIZ, SE FOR O CASO.
Ex: $200^\frac{1}{2}-200^\frac{1}{4}$

Como somar/subtrair potências de bases diferentes e expoentes iguais?
Ou seja, como resolver algo do tipo: $a^\frac{1}{2}+b^\frac{1}{2}$ SEM TRANSFORMAR EM RAIZ, SE FOR O CASO.
Ex: $200^\frac{1}{2}-32^\frac{1}{2}$

Como somar/subtrair potências de bases diferentes e expoentes diferentes?
Ou seja, como resolver algo do tipo: a^\frac{1}{2} ± b^\frac{1}{4} SEM TRANSFORMAR EM RAIZ, SE FOR O CASO.
Ex: $200^\frac{1}{2}-32^\frac{1}{4}$

Att.

por **nakagumahissao** » Qui Mai 05, 2016 23:40

a) No primeiro caso, fatora-se

${200}^{\frac{1}{2}} - {200}^{\frac{1}{4}} = {200}^{\frac{1}{4}}\left({200}^{2} - 1 \right)$

Segue-se que:

${200}^{\frac{1}{4}}\left({200}^{2} - 1 \right) = 39999 \times {200}^{\frac{1}{4}} \;\;\;\;[1]$

Mas,

$200 = {2}^{2} \times {5}^{2} \times 2 = {10}^{2} \times 2$

Logo, de [1] temos:

$39999 \times {200}^{\frac{1}{4}} = 39999 \times {\left({10}^{2} \times 2 \right)}^{\frac{1}{4}} = 39999 \times {10}^{\frac{1}{2}} \times {2}^{\frac{1}{4}}$

b)

$200^\frac{1}{2}-32^\frac{1}{2}$

Semelhante ao que foi feito anteriormente,...

$200^\frac{1}{2} ={\left( {2}^{2} \times {5}^{2} \times 2 \right)}^{\frac{1}{2}} = {2}^{2 \times \frac{1}{2}} \times {5}^{2 \times \frac{1}{2}} \times {2}^{\frac{1}{2}} = 2 \times 5 \times {2}^{\frac{1}{2}}$

$= 10 \times {2}^{\frac{1}{2}}$

e

$32^\frac{1}{2} = {\left({2}^{4} \times 2 \right)}^{\frac{1}{2}} = {2}^{4 \times \frac{1}{2}} \times {2}^{\frac{1}{2}} = {2}^{2} \times {2}^{\frac{1}{2}} = 4 \times {2}^{\frac{1}{2}}$

Utilizando estes resultados na expressao inicial teremos:

$200^\frac{1}{2}-32^\frac{1}{2} = 10 \times {2}^{\frac{1}{2}} - 4 \times {2}^{\frac{1}{2}} = 6 \times {2}^{\frac{1}{2}}$

Tente utilizar este mesmo raciocínio na última pergunta e resolva para ver como é fácil.

por **jramiresbrito** » Sex Mai 06, 2016 01:20

Olá, muito obrigado pela resposta!

Uma dúvida, neste passo " ${200}^{\frac{1}{4}}\left({200}^{2} - 1 \right) = 39999 \times {200}^{\frac{1}{2}} \;\;\;\;[1]$ "

não entendi porque ficou $200^\frac{1}{2}$ , não seria $200^\frac{1}{4}$ ?

por **nakagumahissao** » Sex Mai 06, 2016 03:26

Tem toda razão!

Corrigi acima. Desculpe pelo engano e obrigado por apontar o problema!

por **jramiresbrito** » Sex Mai 06, 2016 20:48

Me parece, em termos de praticidade, que quando estamos lidando com potências/raízes, convém usar potências quando fazemos produtos e quocientes e raízes quando fazemos somas e subtrações. A não ser que seja necessário fazer fatorações, simplificações etc.