[Teoria de Grupos] Demonstrações

por **Bruna_Ferreira** » Seg Jan 05, 2015 16:18

Como eu consigo resolver esse exercício???
Existe um grupo G, de ordem 4, com geradores x e y tais que x^2=y^2=e xy=yx. Determine todos os subgrupos de G. Mostre que G={e, x, y, xy}.

por **adauto martins** » Sex Jan 09, 2015 16:05

G e um grupo abeliano isomorfo a ${Z}_{2}X{Z}_{2}$ ,e nao isomorfo a ${Z}_{4}$ (prove como exercicio),pois $x.y=y.x...\left[x \right]=\left[y \right]=$ { ${x}^{2},x\in G$ }={ ${y}^{2}/y\in G$ }...logo <G>={ ${x}^{2}={y}^{2}/x,y\in G$ } $\subset G$
$G\simeq {Z}_{2}X{Z}_{2}$ (prove como exercicio)...
sejam $(e,x)\in {Z}_{2},(e,y)\in {Z}_{2}$ ,o q. e possivel pois ${Z}_{2}$ e

sao abelianos,G por hipotese...entao ${Z}_{2}X{Z}_{2}$ ={ e.e,e.y,x.e,y.x

}={

}={e,x,y,xy}

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