[Estruturas Algébricas] Isomorfismo

por **Pessoa Estranha** » Qui Nov 13, 2014 17:58

Olá, pessoal!

Preciso de ajuda num exercício.

"Prove que o grupo de Klein e ${Z}_{4}$ não são isomorfos."

Eu sei que o grupo de Klein apresenta quatro elementos, sendo um deles o elemento neutro, e tais que a cada dois operados entre si, resulta no terceiro. Daí, como o exercício não especifica os elementos, tomei um genérico: $G = \{e, a, b, c\}$ . Já o ${Z}_{4}$ é o grupo das classes de restos, ou seja, ${Z}_{4}= \left\{\frac{}{0},\frac{}{1},\frac{}{2},\frac{}{3}\right\}$ . O problema é que, para mim, devemos mostrar que uma $f: G \rightarrow {Z}_{4}$ é homomorfismo bijetor. Mas, como fazer isso se o exercício não informa qual é a lei da f e muito menos as operações envolvidas ?! Pode ser burrice minha não saber disso, mas nem mesmo o livro mostra como resolver este tipo de exercício. Todos os exemplos são com f definidas, operações definidas. O livro sugere: "Tomar um possível homomofismo f e mostrar que não é bijetora".

Por favor, eu imploro por ajuda! O professor vai ficar bravo se eu perguntar, vai rir de mim. A internet não está ajudando. O livro faz apenas uma sugestão que pra mim não está fazendo sentido. Por favor, eu não sei mais o que fazer! Por favor, ajudem!!!!!!!!!!

por **adauto martins** » Qua Nov 19, 2014 15:03

K={e,a,b,ab},uma das formas de apresentar o grupo de KLEIN...vamos tomar uma funçao q. e bijetiva e isomorfa em Z...
f(n)=n e usa-la no problema(f sendo isomorfa em Z,entao f(n.m)=f(m)+f(n),n e m inteiros)...entao seja $f:K\rightarrow{Z}_{4}/f(k)={k}^{-},onde k\in K,{k}^{-}\in {Z}_{4}$ logo teremos $f(a(ab))=f(a)+f(ab)={1}^{-}+{3}^{-}=({1+3})^{-}={4}^{-}={0}^{-}=f(e)\Rightarrow a(ab)=e,pois f e bijetiva...entao \exists {a}^{-1}\in K$ tal q. ${a}^{-1}a(ab)={a}^{-1}.e={a}^{-1}\Rightarrow ab={a}^{-1}$ q. e uma contradiçao pois os elementos de K, so admite inverso(inverso multiplicativo ou simetrico aditivo)dele proprio...logo por f,K nao e isomorfo com ${Z}_{4}$

por **adauto martins** » Qui Nov 20, 2014 10:22

ops!uma correçao...a funçao $f:Z\rightarrow Z$ ,f bijetiva e isomorfa em Z, nao possue a propriedade q. expus,a saber...f(n.m)=f(n)+f(m),e sim os homorfismos f(n.m)=f(n).f(m),f(n+m)=f(n)+f(m),entao...
$f(a+ab)=f(a)+f(ab)={1}^{-}+{3}^{-}=({1+3})^{-}={0}^{-}=f(e)$ ,com f e bijetiva teremos...
$a+ab=e\Rightarrow \exists {a}^{-1}\in K / {a}^{-1}+a+ab={a}^{-1}+e={a}^{-1}\Rightarrow ab={a}^{-1}$ ,o q. e uma contradiçao em K...entao por f, K nao e isomorfo a ${Z}_{4}$

por **Pessoa Estranha** » Sex Nov 21, 2014 15:42

Desculpe, mas não entendi.

por **adauto martins** » Sex Nov 21, 2014 16:53

eh grupos de klein,K sao complicados mesmo...sao isomorfos a ${Z}_{2}$ (prove como exercicios) e ${Z}_{3}$ (esse muito dificil),estude mais e vc compreendera a resoluçao...

por **Pessoa Estranha** » Sáb Nov 22, 2014 14:42

adauto martins escreveu: $f(a+ab)=f(a)+f(ab)={1}^{-}+{3}^{-}=({1+3})^{-}={0}^{-}=f(e)$

Por que?

por **adauto martins** » Sáb Nov 22, 2014 15:10

$f:K\rightarrow {Z}_{4}$ ...tomei f(n)=n,q. e bijetiva e um homomorfismo em Z,para mostrar q. K nao eh isomorfismo em ${Z}_{4}$ ...como f e homomorfismo em Z,ou melhor(Z,+),tomei a propriedade de f(n+m)=f(n)+f(m),n,m inteiro e atraves desse homomorfismo da soma,mostrar q. nao se tem um homomorfismo de K em ${Z}_{4}$ ...sejam a,b elementos de K,q. em geral e representado por K={e,a,b,a.b}...entao:
$f(a+a.b)={1}^{-}+{3}^{-}=({1+3})^{-}={4}^{-}={0}^{-}=f(e)$ ,onde ${Z}_{4}=({0}^{-},{1}^{-},{2}^{-},{3}^{-})$ ,
logo como f e bijetiva,entao posso tomar seus argumentos,a+(a.b)=e,entao como K,e um grupo,existe o elemento inverso(inverso multiplicativo,ou simetrico aditivo),no nosso caso simetrico aditivo, ${a}^{-1}$ ,tal q. ${a}^{-1}+a+(ab)={a}^{-1}+e={a}^{-1}$ , $(ab)={a}^{-1}$ o q. nos leva a uma contradiçao,pois os elementos de K,somente admitem inverso(ou simetrico) deles proprios...entao K nao e isomorfo a ${Z}^{4}$ ...provamos usando a funçao bijetiva f