Fração Algébrica - Como resolver a adição

por **fcomex** » Seg Mai 19, 2014 22:08

Caros,

Como resolvo essa adição de fração algébrica?

$\frac{{x}^{2}}{x-5} + \frac{25}{5-x} =$

Fiquei hora em cima desse problema e não consegui resolver. Agradeço se puderem me ajudar.

por **Russman** » Seg Mai 19, 2014 22:18

É só usar a propriedade

$\frac{a}{c} + \frac{b}{d} = \frac{ad+ bc}{cd}$

para c e d não nulos.

por **fcomex** » Seg Mai 19, 2014 23:54

Certo, desculpe mas não especifiquei melhor minha dificuldade. Já apliquei a propriedade e obtive:
$\frac{{-x}^{3}+{5x}^{2}+25x-125}{{-x}^{2}+10x-25}$
e não consegui avançar mais. Como prossigo?

por **Russman** » Ter Mai 20, 2014 00:20

Bom, você esta somando e a resposta é essa. O que eu vejo de simplificação que se pode fazer é notar que 5-x = -(x-5)

. Daí,

$\frac{x^2}{x-5} + \frac{25}{5-x} = \frac{x^2}{x-5} - \frac{25}{x-5} =\frac{1}{x-5}(x^2 - 25)$

Mas, sabemos que x^2 - 25 = (x-5)(x+5)

. Verifique! De fato, para quaisquer Reais

e

vale que

.
Assim,

$\frac{1}{x-5}(x^2 - 25) = \frac{(x-5)(x+5)}{x-5} = x+5$ se $x \neq 5$

Acho que era isso que você queria, certo?

Usando a propriedade da soma você também poderia chegar a esse resultado. Basta tentar dividir o polinômio cúbico obtido do numerador por (x-5)

ou

.

por **fcomex** » Ter Mai 20, 2014 00:48

É isso mesmo! Muito obrigado.
Amigo, não querendo abusar da boa vontade, não entendi bem como utilizar a propriedade da soma que vc indicou como forma alternativa. Pode me esclarecer?
Obrigado novamente.

por **Russman** » Ter Mai 20, 2014 23:50

fcomex escreveu:É isso mesmo! Muito obrigado.
Amigo, não querendo abusar da boa vontade, não entendi bem como utilizar a propriedade da soma que vc indicou como forma alternativa. Pode me esclarecer?
Obrigado novamente.

Note que o numerador da fração obtida tem como raiz x=5

. De fato,

$-(5)^{3}+5(5)^2 +25.(5)-125 = 0$

Assim, você o pode dividir por (x-5)

e obterá que

$-x^{3}+5x^2 +25x-125 = (x-5)(x^2 - 25)$

Mas também x^2 - 25 = (x-5)(x+5)

. Daí,

$-x^{3}+5x^2 +25x-125 = -(x-5)^2 (x+5)$

Já o denominador sabemos que, já que o obtivemos a partir daí, -x^2 + 10x - 25 = -(x-5)^2

.

Portanto, a fração se torna

$\frac{-(x-5)^2 (x+5)}{-(x-5)^2} = (x+5)$

para $x \neq 5$ .

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