Sistema de Equações exponenciais. iezzi

por **BrunoLima** » Ter Dez 03, 2013 16:12

como tá dificil pra mim esse iezzi.
Resolver o sistema de equações para x>0 e y>0 e m*n>0

x^y=y^x

......não faço idéia de como fica isso.. o pouco que eu fiz, foi..

x^m=y^n

$x^{m/n}=y$
..
x^y=y^x

$x^{y/x}=y$

...

$\frac{y}{x} =\frac{m}{n}$

...
Alguém desenrola essa pra mim?
Grato!!^^

por **e8group** » Ter Dez 03, 2013 21:43

Note que $x^y = x^{y \cdot m \cdot m^{-1}} = x^{m(y \cdot m^{-1})} = (x^m)^{y \cdot m^{-1}} = (y^n)^{y \cdot m^{-1} } = y^{y \cdot n\cdot m^{-1}} = y^{x}$ e assim ,

$y \cdot n\cdot m^{-1} = x$ (1)

Substituindo-se este resultado na segunda equação ,teremos

$(y \cdot n\cdot m^{-1})^m = y^n$ sse

$y^m \cdot [n\cdot m^{-1}]^m = y^n$ sse

$y^{m-n} = \left(\frac{m}{n}\right)^m$ (2) .

Se m = n

segue-se que qualquer $y =m \cdot n = m^2=n^2$ satisfaz (2)

, bem como satisfaz (1)

. Agora suponha $m-n \neq 0$ .Neste caso ,

$y^{m-n} = \left(\frac{m}{n}\right)^m \implies y = \left(\frac{m}{n}\right)^{m /(m-n)}$ (3) e por (1) obtemos que

$x = (\left(\frac{m}{n}\right)^{m /(m-n)} \cdot n\cdot m^{-1})^m = \left( \frac{m}{n} \right )^{nm/(m-n)}$ (4)

Assim concluímos variando m ,n

em $\mathbb{R}$ tais que $m \cdot n > 0$ e $m\neq n$ obteremos soluções para

e

dada por (4) e (3) respectivamente e caso m = n

, as soluções para x ,y

são dadas por m^2

.

por **BrunoLima** » Ter Dez 03, 2013 23:04

Boa noite santhiago, muito obrigado pela sua explicação consegui, com muita dificuldade compreender, mas você poderia mostrar melhor, a parte que vc diz ''(3) e por 1 obtemos" ?? pq ficou tudo elevado a m?

por **e8group** » Qua Dez 04, 2013 14:32

BrunoLima escreveu:Boa noite santhiago, muito obrigado pela sua explicação consegui, com muita dificuldade compreender, mas você poderia mostrar melhor, a parte que vc diz ''(3) e por 1 obtemos" ?? pq ficou tudo elevado a m?

É verdade , acabei aproveitando o código errado da expressão que tinha m no expoente ,por isso o erro . Só para verificar , substituirmos $x = \left(\frac{m}{n}\right)^{n/(m-n)}$ e $y= \left(\frac{m}{n}\right)^{m/(m-n)}$ no sistema :

Temos :

$x^y= \left[ \left(\frac{m}{n}\right)^{n/(m-n)} \right]^{\left(\frac{m}{n}\right)^{m/(m-n)}}$
$y^x = \left[ \left(\frac{m}{n}\right)^{m/(m-n)} \right]^{\left(\frac{m}{n}\right)^{n/(m-n)}}$ .

Somente para simplificar as notações definamos $a = \frac{m}{n}$ e $b =\frac{1}{m-n}$ , desta forma

$x^y= \left(a^{n \cdot b} \right)^{a^{m \cdot b}} = a^{a^{mb} \cdot nb}$

e

$y^x = \left(a^{m \cdot b} \right)^{a^{n \cdot b}} = a^{a^{nb} \cdot m \cdot b}$

Para que ocorra a igualdade devemos impor

$a^{nb} \cdot mb = a^{mb} \cdot nb$

os b's se cancelam e temos

$a^{nb} \cdot m = n a^{mb}$ ou ainda

$a^{nb} \cdot \frac{ m }{n} = a^{mb}$ que é equivalente a

$a^{nb +1} = a^{mb}$ e novamente devemos impor que

nb+1 = mb

e assim

Ora, mas

,logo

OK! ,isto significa a primeira equação do sistema é satisfeita para todo

e

reais distintos tais que $m \cdot n > 0$ e x,y

dependendo m,n

( conforme já vimos que são eles ) .

E por outro lado ,

$x^m = \left[ \left(\frac{m}{n}\right)^{n/(m-n)}\right]^m = \left(\frac{m}{n}\right)^{nm/(m-n)}$ e

$y^n = \left[ \left(\frac{m}{n}\right)^{m/(m-n)}\right]^n = \left(\frac{m}{n}\right)^{nm/(m-n)}$

a assim a segunda equação do sistema também é satisfeita para todo

e

reais distintos tais que $m \cdot n > 0$ e x,y

dependendo m,n

.

Agora façamos uma observação :

Se m = n

então

,e

não dependem da escolha de m,n

.

Em linguagem de conjuntos , o conjunto solução seria dado por $S_1 \cup S_2$ onde

$S_1 = \{(x,y,m,n) \in \mathbb{R}^4 : x = \left(\frac{m}{n}\right)^{n/(m-n)} , y=\left(\frac{m}{n}\right)^{m/(m-n)} ,m \cdot n > 0 \text{e} m -n \neq 0 \}$

e $S_2 = \{(x,y,m,n) \in \mathbb{R}^4 : x =y , y > 0 \text{e} m \cdot n \neq 0\}$