Fatoração

por **chronoss** » Seg Abr 22, 2013 21:13

Sejam a, b, c, d números reais tais que: a³+b³+c³+d³ = a+b+c+d = 0. Prove que a soma de dois desses números é zero.

por **e8group** » Ter Abr 23, 2013 11:36

Neste caso podemos proceder da seguinte forma ,

a^3 + b^3 +c^3 +d^3 = a+b+c+d = 0

$\iff (a+b)^3 - 3a^2b -3ab^2 +c^3+d^3 = 0$

$\iff - (c+d)^3 - 3a^2b -3ab^2 +c^3+d^3 = 0$

$\iff -3c^2d -3cd^2 - 3a^2b -3ab^2 = 0$ \\

$\iff -3[cd(c +d) + ab(b +a)] = 0$

$\iff cd(c +d) + ab(b +a) = 0$

Pela relação a+b+c+d = 0

,temos que a+b = -(c+d)

.Assim,

$cd(c +d) + ab(b +a) = 0 \iff \begin{cases} -cd(a+b) +ab(a+b) = 0\\ cd(c+d) -ab(c+d) =0 \end{cases}$ .

Tente concluir .

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