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Mensagempor chronoss » Seg Abr 22, 2013 21:13

Sejam a, b, c, d números reais tais que: a³+b³+c³+d³ = a+b+c+d = 0. Prove que a soma de dois desses números é zero.
chronoss
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Re: Fatoração

Mensagempor e8group » Ter Abr 23, 2013 11:36

Neste caso podemos proceder da seguinte forma ,

a^3 + b^3 +c^3 +d^3 = a+b+c+d = 0


\iff (a+b)^3 - 3a^2b -3ab^2 +c^3+d^3 = 0


\iff - (c+d)^3 - 3a^2b -3ab^2 +c^3+d^3 = 0

\iff -3c^2d -3cd^2 - 3a^2b -3ab^2 = 0 \\

\iff -3[cd(c +d) + ab(b +a)] = 0

\iff cd(c +d) + ab(b +a) = 0

Pela relação a+b+c+d = 0 ,temos que a+b = -(c+d) .Assim,

cd(c +d) + ab(b +a) = 0 \iff \begin{cases} -cd(a+b) +ab(a+b) = 0\\ cd(c+d) -ab(c+d) =0 \end{cases} .

Tente concluir .
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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