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[LÓGICA] Sei que tá certo, mas não consigo provar

[LÓGICA] Sei que tá certo, mas não consigo provar

Mensagempor v0xxx » Sáb Dez 10, 2011 13:13

Pensando numa solução pra um programa de computador cheguei a esta conclusão e funcionou perfeitamente. Mas gostaria de prová-la formalmente mas não tô conseguindo, se alguém ajudar eu agradeço. Segue a proposição:

\forall x,y \in R\:(|x+y| < |x|  \Rightarrow ((x<0) and (y>0))\:or\:((x>0) and (y<0)))

Basicamente o que diz é: Se a soma do módulo de 2 números reais for menor que o módulo do 1º deles, então os números tem sinais contrários.

Como disse, está certo, mentalmente eu consigo provar, mas formalmente não consigo :D
v0xxx
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Re: [LÓGICA] Sei que tá certo, mas não consigo provar

Mensagempor MarceloFantini » Dom Dez 11, 2011 04:00

Primeiro você quer dizer o módulo da soma, e não "soma do módulo de dois números reais", que seria algo como |x| + |y|. A condição de que tem sinais opostos pode ser simplificada para xy < 0, ou seja, o produto é negativo.

Por último, não menos importante, um contra-exemplo: faça x=-2 e y=8. Então |x+y| = |-2+8| = |6| = 6 enquanto que |x| = |-2| = 2. Na verdade o que você provavelmente quer dizer é que se o módulo da soma for menor que o máximo dentre os dois, então eles tem sinais opostos.
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Re: [LÓGICA] Sei que tá certo, mas não consigo provar

Mensagempor v0xxx » Dom Dez 11, 2011 17:18

MarceloFantini escreveu:Primeiro você quer dizer o módulo da soma, e não "soma do módulo de dois números reais", que seria algo como |x| + |y|. A condição de que tem sinais opostos pode ser simplificada para xy < 0, ou seja, o produto é negativo.

Por último, não menos importante, um contra-exemplo: faça x=-2 e y=8. Então |x+y| = |-2+8| = |6| = 6 enquanto que |x| = |-2| = 2. Na verdade o que você provavelmente quer dizer é que se o módulo da soma for menor que o máximo dentre os dois, então eles tem sinais opostos.


Exato, é o módulo da soma, eu me enganei. E de fato a lógica está um pouquinho errada. O certo certo é:
Se o módulo da soma for menor que o maior deles em módulo então eles tem sinais contrários :D (porque se fosse |-8+2|=6, que seria menor que |-8|)

Muito obrigado!!!
v0xxx
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?