[Inequação] Resultado não confere.

por **renanrdaros** » Sáb Ago 13, 2011 18:22

$\frac{2}{x-2}\leq\frac{x+2}{x-2}\leq1$

A resposta do livro é: $\left(-\infty;0 \right]$

Meu resultado dá sempre VAZIO. As incógnitas se cancelam.

E agora?

por **renanrdaros** » Dom Ago 14, 2011 14:21

por **LuizAquino** » Dom Ago 14, 2011 15:48

renanrdaros escreveu: $\frac{2}{x-2}\leq\frac{x+2}{x-2}\leq1$

Você tem duas inequações para resolver:
(i) $\frac{2}{x-2}\leq\frac{x+2}{x-2}$ ;

(ii) $\frac{x+2}{x-2}\leq 1$ .

Na primeira, você fica com:
$\frac{2}{x-2} - \frac{x+2}{x-2} \leq 0$

$\frac{2 - (x+2)}{x-2} \leq 0$

$- \frac{x}{x-2} \leq 0$

Agora termine de resolver.

Já na segunda, você fica com:
$\frac{x+2}{x-2} - 1\leq 0$

$\frac{x+2 - (x-2)}{x-2} \leq 0$

$\frac{4}{x-2} \leq 0$

Agora termine de resolver.

No final, será necessário determinar a interseção entre a solução de (i) e (ii).

Observação
Muito provavelmente você está errado pois deve ter aplicado a "multiplicação em cruz", o que não é sempre válido nas inequações.

Veja o tópico:
inequação, dúvida.
viewtopic.php?f=106&t=3856

por **renanrdaros** » Dom Ago 14, 2011 20:03

LuizAquino escreveu: $\frac{4}{x-2} \leq 0$

Resulta em $4\leq0$ . Então não existe solução para x-2 > 0

.

Resolvendo as duas inequações para x-2 < 0

:

$\frac{2}{x-2}\geq\frac{x+2}{x-2} \Rightarrow x\leq0$

$\frac{x+2}{x-2}\geq1 \rightarrow\rightarrow 2\geq-2$

É isso? Apenas desconsidero a segunda inequação e fico com $x\leq0$ ???

por **LuizAquino** » Dom Ago 14, 2011 21:34

renanrdaros escreveu: $\frac{4}{x-2} \leq 0$

Resulta em $4\leq 0$ . Então não existe solução para .

Volto a falar: você não deve "multiplicar em cruz" em uma inequação. Note que você simplesmente "passou" o (x - 2) multiplicando o zero.

renanrdaros escreveu: $\frac{x+2}{x-2}\geq1 \rightarrow \rightarrow 2\geq-2$

De novo você cometeu o erro de "passar" o (x- 2) multiplicando!

Eu vou indicar novamente que você leia (com atenção) o tópico:
inequação, dúvida.
viewtopic.php?f=106&t=3856

Além disso, há uma série de vídeo-aulas no canal do Nerckie falando sobre inequações. Vale a pena você assistir:
http://www.youtube.com/nerckie

por **renanrdaros** » Seg Ago 15, 2011 00:29

LuizAquino escreveu:De novo você cometeu o erro de "passar" o (x- 2) multiplicando!

Eu NUNCA multipliquei em cruz. Eu apenas multiplico ambos os lados por (x - 2). O que é completamente correto, desde que se considere dois casos distintos: um em que (x - 2) é menor que zero e outro em que (x - 2) é maior que zero.

por **LuizAquino** » Seg Ago 15, 2011 13:14

renanrdaros escreveu:Eu NUNCA multipliquei em cruz. Eu apenas multiplico ambos os lados por (x - 2). O que é completamente correto, desde que se considere dois casos distintos: um em que (x - 2) é menor que zero e outro em que (x - 2) é maior que zero.

Ok, você já sabe esse conceito. Mas, note que você se atrapalhou na aplicação dele e não soube como organizar a reposta.

Vejamos como resolver dividindo a inequação original em 2 casos.

Caso 1) x - 2 > 0

Multiplicando toda a inequação $\frac{2}{x-2}\leq\frac{x+2}{x-2}\leq 1$ por x - 2

ficamos com:

$2 \leq x + 2 \leq x - 2$

Perceba que você tem um sistema com 3 inequações:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 2 \leq x + 2 \\ x + 2 \leq x - 2 \end{cases}$

A solução desse sistema é a interseção entre a solução de cada uma das inequações.

No final você obtém que a solução desse sistema é $S_1 = \varnothing$ .

Caso 2) x - 2 < 0

Multiplicando toda a inequação $\frac{2}{x-2}\leq\frac{x+2}{x-2}\leq 1$ por x - 2

ficamos com:

$2 \geq x + 2 \geq x - 2$

Perceba que você tem um sistema com 3 inequações:
$\begin{cases} x - 2 < 0 \\ 2 \geq x + 2 \\ x + 2 \geq x - 2 \end{cases}$

A solução desse sistema é a interseção entre a solução de cada uma das inequações.

No final você obtém que a solução desse sistema é $S_2 = (-\infty,\, 0]$ .

Solução Final
Como você dividiu em dois casos distintos, a solução final será a união entre a solução de cada caso.

Desse modo, a solução final é $S = S_1 \cup S_2 = (-\infty,\, 0]$ .

===== Outra Solução =====

Vejamos agora a solução através do que eu escrevi na mensagem anterior.

Da inequação $\frac{2}{x-2}\leq\frac{x+2}{x-2}\leq 1$ obtemos o sistema:

$\begin{cases} \frac{2}{x-2}\leq \frac{x+2}{x-2} \\ \\ \frac{x+2}{x-2} \leq 1 \end{cases}$

Mas, isso é o mesmo que:
$\begin{cases} -\frac{x}{x-2}\leq 0 \\ \\ \frac{4}{x-2}\leq 0 \end{cases}$

A solução do sistema será a interseção entre a solução de cada uma das inequações.

A solução da primeira inequação é $S_1 = (-\infty,\, 0] \cup (2,\,+\infty)$ .

Já a solução da segunda inequação é $S_2 = (-\infty,\, 2)$ .

Desse modo, a solução do sistema é $S = S_1 \cap S_2 = (-\infty,\, 0]$ .

Observação
Se você precisar revisar como resolver essas inequações, então é interessante você pesquisar sobre "inequação quociente".

por **renanrdaros** » Ter Ago 16, 2011 01:18

Ou eu estou muito enganado, ou a sua primeira solução é a mesma coisa que eu fiz e que você tinha falado que eu estava fazendo errado.

De qualquer modo, obrigado pela ajuda!

por **LuizAquino** » Ter Ago 16, 2011 15:50

renanrdaros escreveu:Ou eu estou muito enganado, ou a sua primeira solução é a mesma coisa que eu fiz e que você tinha falado que eu estava fazendo errado.

Veja que você está enganado.

Apesar de você dividir a inequação em dois casos assim como eu fiz, você não montou os sistemas e tão pouco soube como organizar a solução final! Esse foi o seu erro!

Veja o que eu comentei acima quando você disse "Eu NUNCA multipliquei em cruz":

"Ok, você já sabe esse conceito. Mas, note que você se atrapalhou na aplicação dele e não soube como organizar a reposta."

Tanto é que você perguntou:

renanrdaros escreveu:É isso? Apenas desconsidero a segunda inequação e fico com $x\leq 0$ ???

Perceba que como você já conhecia a reposta do exercício você tentou forçar a solução, "desconsiderando" algumas partes. Mas, e se você não conhecesse a resposta?

Nesse contexto, a estratégia é fazer a solução montando os sistemas como eu ilustrei acima.

por **renanrdaros** » Ter Ago 16, 2011 18:16

Isso, Luiz...

A minha dúvida era esta mesmo: O que fazer com a última inequação do sistema?

$x+2\geq x-2$

Ela me diz apenas que $2\geq-2$ . É isso?

por **LuizAquino** » Ter Ago 16, 2011 21:44

renanrdaros escreveu:A minha dúvida era esta mesmo: O que fazer com a última inequação do sistema?

$x+2\geq x-2$

Ela me diz apenas que $2\geq-2$ . É isso?

Voltando um pouco, você considerou x - 2 < 0

(cuja a solução é $S_1 = (-\infty,\, 2)$ ) e obteve:

$2 \geq x+2 \Rightarrow x \leq 0$
Ou seja, a solução dessa inequação é $S_2 = (-\infty,\, 0]$ .

$x+2 \geq x-2 \Rightarrow 2\geq-2$
Ou seja, a solução dessa inequação é $S_3 = (-\infty,\,+\infty)$ (pois para qualquer valor real x temos que $x+2 \geq x-2$ ).

Desse modo, a solução do sistema formado por essas três inequações será $S = S_1 \cap S_2 \cap S_3 = (-\infty,\, 0]$ .

por **renanrdaros** » Qua Ago 17, 2011 02:18

renanrdaros escreveu: $x+2 \geq x-2 \Rightarrow 2\geq-2$
Ou seja, a solução dessa inequação é S_3 = $(-\infty,\,+\infty)$ (pois para qualquer valor real x temos que $x+2 \geq x-2$ )