Estou a estudar Teoria dos Anéis e cheguei a uma dúvida:
Seja A o conjunto dos números reais da forma:
![a+b\sqrt[2]{2}](/latexrender/pictures/9d7795e4612959df89741048ec0fbe05.png "a+b\sqrt[2]{2}")
, com a e b inteiros e com as duas operações habituais (adição e produto):a) Mostrar que A é um subanel do corpo dos complexos.
Com
![(a+b\sqrt[2]{2})\in\Re](/latexrender/pictures/7389dff144d2b5941f57f8509de25e1f.png "(a+b\sqrt[2]{2})\in\Re")
e ![({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})\in\Re](/latexrender/pictures/14adcfc88d5a825586f4b31e74c3dc28.png "({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})\in\Re")
temos:![(a+b\sqrt[2]{2})+({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a+{a}_{1})+\sqrt[2]{2}(b+{b}_{1}))\in\Re](/latexrender/pictures/ba4af066487b09f419247fd434dccfc2.png "(a+b\sqrt[2]{2})+({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a+{a}_{1})+\sqrt[2]{2}(b+{b}_{1}))\in\Re")
![(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a{a}_{1}+2b{b}_{1})+\sqrt[2]{2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in\Re](/latexrender/pictures/9afc2d8c4fe60ae5a3cf44874215001b.png "(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a{a}_{1}+2b{b}_{1})+\sqrt[2]{2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in\Re")
Logo A é subanel do corpo dos complexos.
b) Será A um ideal do mesmo corpo?
Com
e ![({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})\in](/latexrender/pictures/033656da5146028b6e9e225c08477f47.png "({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})\in")
Complexos temos:![(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})=((a{a}_{1}-2b{b}_{1})+\sqrt[2]{-2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in](/latexrender/pictures/fa04d78d30d5999c014d3d0f50400bee.png "(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})=((a{a}_{1}-2b{b}_{1})+\sqrt[2]{-2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in")
ComplexosLogo A não é ideal dos Complexos.
c) Averiguar se A é um domínio de integridade, se é corpo e qual o ideal do anel A gerado por
![\sqrt[2]{2}](/latexrender/pictures/a8f8ae3924f6c44624745ca9e588cae3.png "\sqrt[2]{2}")
Para ser Domínio de Integridade, não pode ter divisores de zero, então:
![(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0\Rightarrow(a+b\sqrt[2]{2})=0\cup({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0](/latexrender/pictures/6e0847f2389fa91124f3bd9bc507cbe8.png "(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0\Rightarrow(a+b\sqrt[2]{2})=0\cup({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0")
E para ser Corpo, para todo o elemento não nulo, tem que ter invertível, então:
![(a+b\sqrt[2]{2}){(a+b\sqrt[2]{2})^{-1}=1](/latexrender/pictures/700377e6024ccb9006225c20436a3cf7.png "(a+b\sqrt[2]{2}){(a+b\sqrt[2]{2})^{-1}=1")
O ideal gerado será:
![(a+b\sqrt[2]{2})\sqrt[2]{2}=2b+a\sqrt[2]{2}](/latexrender/pictures/f1024ac598b79faf4fb1ac9858856fa5.png "(a+b\sqrt[2]{2})\sqrt[2]{2}=2b+a\sqrt[2]{2}")
, ou seja, serão os números da forma ![2a+b\sqrt[2]{2}](/latexrender/pictures/41f28975b8c61c937712ac7064937382.png "2a+b\sqrt[2]{2}")
ou <2A> ?!(E não passo daqui.. agradecia ajuda se possível nas demonstrações se é Domínio de Integridade, se é Corpo e como se descobre o ideal) :(
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