a) S = { (x1, x2, x3, x4): x1 = - 2x4, x3 - 2x2 = 0 }
(i) Provar que 0 está em S, onde "0" representa o elemento neutro do espaço vetorial em questão, que nesse caso é
.
Sabemos que o 0 do espaço vetorial em questão é (0, 0, 0, 0). Ou seja,
.
Pergunta: podemos afirmar que
e
?
(ii) Provar que se u e v estão em S, então u+v também está em S.
Seja
e
. Como por hipótese eles estão em S, então sabemos que:
(1)
e
.
(2)
e
.
Por outro lado, sabemos que
.
Pergunta: considerando as afirmações (1) e (2), podemos afirmar que
e
?
(iii) Provar que se u está em S e k está em R, então ku também está em S.
Seja
. Como por hipótese ele está em S, então sabemos que:
(1)
e
.
Por outro lado, sabemos que
.
Pergunta: considerando a afirmação (1), podemos afirmar que
e
?
Se a resposta para as três perguntas for
sim, então S é subespaço de
.
b) T = L { (1,1,0,0), (1,-1,0,2), (0,2,0,-2) }
Para resolver o exercício b) use um esquema parecido com o que foi usado para o exercício a).
